Questão 3: (2 pontos) Defina ponto interior e conjunto aberto. Defina ponto aderente e conjunto fechado. Defina conjunto compacto. Dê exemplos de cada tipo de conjunto mencionado.
Passo 1
O enunciado pede as definições de ponto interior, conjunto aberto, ponto aderente, conjunto fechado e conjunto compacto em
, além de dar um exemplo para cada caso. Para isso, vamos usar as noções de bola aberta, interseção de conjuntos e coberturas abertas.
Passo 2
Definimos ponto interior e conjunto aberto usando bolas abertas em
:
Um ponto é interior a um conjunto
se existe
tal que
Um ponto
Um conjunto
é aberto se todo ponto
for ponto interior de
.
Exemplo: é aberto porque para cada
podemos escolher
e garantir
.
Exemplo:
Passo 3
Definimos ponto aderente e conjunto fechado através de interseção de bolas abertas:
Um ponto é aderente a
se, para todo
,
Um ponto
O conjunto
é fechado se contém todos os seus pontos aderentes.
Exemplo: é fechado pois todo ponto aderente (por exemplo 0 ou 1) pertence a
. O ponto
é aderente a
mas não interior a
.
Exemplo:
Passo 4
Definimos conjunto compacto por cobertura aberta:
Um conjunto é compacto se, para toda família de conjuntos abertos
que cobre
(isto é,
), existe um subíndice finito
tal que
Um conjunto
Pelo Teorema de Heine–Borel, em
um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
Exemplo: é compacto porque, sendo fechado e limitado, toda cobertura aberta admite subcobertura finita.
Exemplo:
Resposta
Ponto interior e conjunto aberto
Definição: é interior a
se existe
com
.
é aberto se todo
for interior.
Exemplo: .
Definição:
Exemplo:
Ponto aderente e conjunto fechado
Definição: é aderente a
se
para todo
.
é fechado se contém todos os seus pontos aderentes.
Exemplo: .
Definição:
Exemplo:
Conjunto compacto
Definição: é compacto se de toda cobertura aberta de
podemos extrair uma subcobertura finita.
Exemplo: .
Definição:
Exemplo: