Questão 3: (2 pontos) Defina ponto interior e conjunto aberto. Defina ponto aderente e conjunto fechado. Defina conjunto compacto. Dê exemplos de cada tipo de conjunto mencionado.

Passo 1

O enunciado pede as definições de ponto interior, conjunto aberto, ponto aderente, conjunto fechado e conjunto compacto em \mathbb{R}^n, além de dar um exemplo para cada caso. Para isso, vamos usar as noções de bola aberta, interseção de conjuntos e coberturas abertas.

Passo 2

Definimos ponto interior e conjunto aberto usando bolas abertas em \mathbb{R}^n:
Um ponto x é interior a um conjunto A\subset\mathbb{R}^n se existe \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)=\{\,y\in\mathbb{R}^n\mid \|y-x\|<\varepsilon\}\subset A.
Um conjunto A é aberto se todo ponto x\in A for ponto interior de A.
Exemplo: (0,1)\subset\mathbb{R} é aberto porque para cada x\in(0,1) podemos escolher \varepsilon=\min\{x,1-x\}>0 e garantir B(x,\varepsilon)\subset(0,1).

Passo 3

Definimos ponto aderente e conjunto fechado através de interseção de bolas abertas:
Um ponto x\in\mathbb{R}^n é aderente a A\subset\mathbb{R}^n se, para todo \varepsilon>0,
B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing.
O conjunto A é fechado se contém todos os seus pontos aderentes.
Exemplo: [0,1]\subset\mathbb{R} é fechado pois todo ponto aderente (por exemplo 0 ou 1) pertence a [0,1]. O ponto 0 é aderente a (0,1) mas não interior a (0,1).

Passo 4

Definimos conjunto compacto por cobertura aberta:
Um conjunto K\subset\mathbb{R}^n é compacto se, para toda família de conjuntos abertos \{U_i\}_{i\in I} que cobre K (isto é, K\subset\bigcup_{i\in I}U_i), existe um subíndice finito i_1,\dots,i_m tal que
K\subset U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}.
Pelo Teorema de Heine–Borel, em \mathbb{R}^n um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
Exemplo: [0,1]\subset\mathbb{R} é compacto porque, sendo fechado e limitado, toda cobertura aberta admite subcobertura finita.

Resposta

Ponto interior e conjunto aberto
Definição: x é interior a A se existe \varepsilon>0 com B(x,\varepsilon)\subset A. A é aberto se todo x\in A for interior.
Exemplo: (0,1)\subset\mathbb{R}.
Ponto aderente e conjunto fechado
Definição: x é aderente a A se B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing para todo \varepsilon>0. A é fechado se contém todos os seus pontos aderentes.
Exemplo: [0,1]\subset\mathbb{R}.
Conjunto compacto
Definição: K\subset\mathbb{R}^n é compacto se de toda cobertura aberta de K podemos extrair uma subcobertura finita.
Exemplo: [0,1]\subset\mathbb{R}.

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