QUESTÃO 3 (4 PONTOS):
Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalment ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{20^{n}(n!)^{3}}{(3 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{20^{n}(n!)^{3}}{(3n)!}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Estamos no tema de séries de termos gerais e vamos usar um critério de convergência para séries de termos positivos (especificamente, o Critério da Razão de d’Alembert).

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{20^{n}(n!)^{3}}{(3n)!}
e aplicamos o Critério da Razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 3

Primeiro escrevemos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{20^{\,n+1}\,((n+1)!)^{3}/\bigl(3(n+1)\bigr)!}{20^{n}\,(n!)^{3}/(3n)!} =20\;\frac{(n+1)^{3}\,(3n)!}{(3n+3)!}.
Como (3n+3)!=(3n+3)(3n+2)(3n+1)\,(3n)!, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =20\;\frac{(n+1)^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} =20\;\frac{(n+1)^{2}}{3\,(3n+2)(3n+1)}.
Então
L=\lim_{n\to\infty}20\;\frac{(n+1)^{2}}{3\,(3n+2)(3n+1)} =\frac{20}{27}.

Passo 4

Como L=\tfrac{20}{27}<1, o Critério da Razão garante que a série converge absolutamente (portanto converge). Não há possibilidade de convergência condicional, pois todos os termos são não negativos.

Resposta

A série converge absolutamente.
Critério de convergência utilizado: Critério da Razão de d’Alembert.

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