QUESTÃO 3 (4 PONTOS):
Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalment ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{n^{4}+4}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{3}}{n^{4}+4}
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
O conteúdo envolve séries alternadas, convergência absoluta e condicional. Vamos usar o critério da série alternada (Leibniz) e o critério de comparação (ou limite de comparação) para p-séries.

Passo 2

Testando convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n+1}\frac{n^{3}}{n^{4}+4}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{n^{4}+4}.
Para n grande,
\frac{n^{3}}{n^{4}+4}\sim\frac{n^{3}}{n^{4}}=\frac{1}{n}.
Como \sum1/n (p-série com p=1) diverge, pelo critério da comparação assintótica (ou limite de comparação) a série \sum n^{3}/(n^{4}+4) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, analisamos a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n, \quad a_n=\frac{n^{3}}{n^{4}+4}\,.
Precisamos de dois pontos do critério de Leibniz:
  1. \lim_{n\to\infty}a_n=0, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{4}+4} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\tfrac{4}{n^{3}}}=0.
  1. a_n é (eventualmente) decrescente. Note que a função
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{4}+4}
tem derivada
f'(x) =\frac{3x^{2}(x^{4}+4)-4x^{6}}{(x^{4}+4)^{2}} =\frac{x^{2}(-x^{4}+12)}{(x^{4}+4)^{2}}<0 \quad\text{para }x>\sqrt[4]{12}\approx1{,}86.
Logo, para n\ge2, a_{n+1}<a_n. Assim, todas as hipóteses do critério de Leibniz estão satisfeitas e a série alternada converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.
Critérios usados: comparação assintótica com p-série p=1 para mostrar que não converge absolutamente, e critério de Leibniz (série alternada) para demonstrar a convergência condicional.

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