Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalment ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado? \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{n^{4}+4}
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
O conteúdo envolve séries alternadas, convergência absoluta e condicional. Vamos usar o critério da série alternada (Leibniz) e o critério de comparação (ou limite de comparação) para p-séries.
Como \sum1/n (p-série com p=1) diverge, pelo critério da comparação assintótica (ou limite de comparação) a série \sum n^{3}/(n^{4}+4) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.
Passo 3
Para verificar convergência condicional, analisamos a série alternada
Logo, para n\ge2, a_{n+1}<a_n. Assim, todas as hipóteses do critério de Leibniz estão satisfeitas e a série alternada converge.
Resposta
A série converge condicionalmente.
Critérios usados: comparação assintótica com p-série p=1 para mostrar que não converge absolutamente, e critério de Leibniz (série alternada) para demonstrar a convergência condicional.