QUESTÃO 1 (2 PONTOS):
Determine se as sequencias abaixo converge Just ifique
a_{n}=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}
e pede para determinar se ela converge. O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo potências, em particular reconhecer formas que levam à constante e.

Passo 2

Vamos reescrever a_{n} de modo a isolar um termo conhecido. Observe que
a_{n} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}\cdot\frac{1}{n+1} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}.

Passo 3

Note que
\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1},
então o fator \bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^{n} é da forma
\Bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\Bigr)^{n}.
É clássico que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\Bigr)^{n} = e^{-1}.

Passo 4

O outro fator é
\frac{1}{n+1},
e claramente
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0.
Como o produto de algo que tende a e^{-1} por algo que tende a 0 é 0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{-1}\cdot 0 = 0.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} converge, e seu limite é 0.

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