Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmenti ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado? \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{n^{4}+1}
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar dois critérios: o teste da comparação para a série de termos positivos (valor absoluto) e o teste de Leibniz (séries alternadas) para a convergência condicional.
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta, ou seja, a série
Para a monotonicidade, note que f(x)=x^{3}/(x^{4}+1) tem derivada
f'(x) =\frac{x^{2}(-x^{4}+3)}{(x^{4}+1)^{2}},
que é negativa para x\ge2. Logo, a_{n} é decrescente para n\ge2.
Passo 6
Pelos critérios acima, a série não converge absolutamente (diverge em valor absoluto) mas, sendo alternada com a_{n}\searrow0, converge pelo teste de Leibniz. Isso caracteriza convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz e diverge em valor absoluto pelo teste da comparação com a série harmônica.