QUESTÃO 3 (4 PONTOS):
Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmenti ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{n^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n^{3}}{n^{4}+1}
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar dois critérios: o teste da comparação para a série de termos positivos (valor absoluto) e o teste de Leibniz (séries alternadas) para a convergência condicional.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}n^{3}}{n^{4}+1}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{n^{4}+1}.
Para n grande, \tfrac{n^{3}}{n^{4}+1}\sim\tfrac{n^{3}}{n^{4}}=\tfrac{1}{n}. Usamos o teste da comparação limite com a série harmônica \sum1/n.

Passo 3

Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{3}}{n^{4}+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}+1}=1.
Como \sum1/n diverge e o limite é finito e positivo, a série de valores absolutos também diverge.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternada original
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}, \quad a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{4}+1}.
Precisamos verificar que a_{n} é decrescente a partir de certo n e que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 5

  1. Para o limite:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{4}+1} =0.
  1. Para a monotonicidade, note que f(x)=x^{3}/(x^{4}+1) tem derivada
f'(x) =\frac{x^{2}(-x^{4}+3)}{(x^{4}+1)^{2}},
que é negativa para x\ge2. Logo, a_{n} é decrescente para n\ge2.

Passo 6

Pelos critérios acima, a série não converge absolutamente (diverge em valor absoluto) mas, sendo alternada com a_{n}\searrow0, converge pelo teste de Leibniz. Isso caracteriza convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz e diverge em valor absoluto pelo teste da comparação com a série harmônica.

Exercícios relacionados