Questão 1 (2,0 pontos) Deduza o coeficiente de dilatação volumétríca e o cocficiente de compressibilidade isotémiea, para um sistema que obedece à equação de estado (P+b) v=R T; onde b e R são constantes.

Passo 1

O enunciado fornece a equação de estado
(P + b)\,v = R\,T
com b e R constantes, e pede os seguintes coeficientes termodinâmicos:
– coeficiente de dilatação volumétrica
\alpha = \frac{1}{v}\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P},
– coeficiente de compressibilidade isotérmica
\kappa_{T} = -\frac{1}{v}\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial P}\Bigr)_{T}.
Para resolver, vamos primeiro expressar v em função de T e P, e em seguida calcular as derivadas parciais.

Passo 2

Isolando o volume v da equação de estado temos
v = \frac{R\,T}{P + b}.

Passo 3

Calculemos a derivada de v em relação a T a pressão constante:
\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P} = \frac{R}{P + b}.
Logo, o coeficiente de dilatação volumétrica é
\alpha = \frac{1}{v}\,\frac{R}{P + b} = \frac{1}{\displaystyle \frac{R\,T}{P + b}}\;\frac{R}{P + b} = \frac{P + b}{R\,T}\;\frac{R}{P + b} = \frac{1}{T}.

Passo 4

Agora a derivada de v em relação a P à temperatura constante:
\Bigl(\frac{\partial v}{\partial P}\Bigr)_{T} = \frac{\partial}{\partial P}\!\Bigl(\frac{R\,T}{P + b}\Bigr) = -\frac{R\,T}{(P + b)^{2}}.
Portanto, o coeficiente de compressibilidade isotérmica é
\kappa_{T} = -\frac{1}{v}\,\Bigl(-\frac{R\,T}{(P + b)^{2}}\Bigr) = \frac{1}{v}\,\frac{R\,T}{(P + b)^{2}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{R\,T}{P + b}}\;\frac{R\,T}{(P + b)^{2}} = \frac{P + b}{R\,T}\;\frac{R\,T}{(P + b)^{2}} = \frac{1}{P + b}.

Resposta

\displaystyle \alpha = \frac{1}{T}
\displaystyle \kappa_{T} = \frac{1}{P + b}

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