2^{\text {a }} QUESTÃO (2,5 pontos)

Determine se os subconjuntos abaixo săo subespeços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
T=\left\{(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid x+y+e^{z}=1\right\} \subset \mathbf{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define
T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y + e^z = 1\}
e pede para verificar se T é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não‐vazio W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço se, e só se,
  1. o vetor zero (0,0,0) pertence a W,
  2. para todo u,v\in W, u+v\in W (fechamento em soma),
  3. para todo v\in W e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, \lambda v\in W (fechamento em escalar).

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em T.
O vetor zero é (0,0,0). Substituindo em x+y+e^z=1:
0 + 0 + e^0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 = 1.
Logo (0,0,0)\in T.

Passo 3

Agora checamos o fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja (x,y,z)\in T, então
x + y + e^z = 1.
Escolhemos um vetor específico em T: seja z=1. Então e^z = e e x+y = 1 - e. Por exemplo, tome
v = (\,1 - e,\;0,\;1\,)\in T.
Considere o escalar \lambda = 2. Então
2v = \bigl(2(1 - e),\;0,\;2\bigr).
Para que 2v estivesse em T, precisaria
2(1 - e) + 0 + e^2 \;=\; 1.
Mas
2(1 - e) + e^2 = 2 - 2e + e^2 \neq 1
(em particular, 2 - 2e + e^2 = (e-1)^2 + 1 > 1).
Portanto 2v\notin T, ou seja, T não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Como falha o fechamento em escalar, T não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.

Resposta

T não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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