QUESTÃO (2,5 pontos)
Determine se os subconjuntos abaixo săo subespeços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não‐vazio é subespaço se, e só se,
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não‐vazio
- o vetor zero
pertence a , - para todo
, (fechamento em soma), - para todo
e todo escalar , (fechamento em escalar).
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
.
O vetor zero é . Substituindo em
:
O vetor zero é
Logo
.
Passo 3
Agora checamos o fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja , então
Seja
Escolhemos um vetor específico em
: seja
. Então
e
. Por exemplo, tome
Considere o escalar
. Então
Para que
estivesse em
, precisaria
Mas
(em particular,
).
Portanto , ou seja,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Portanto
Passo 4
Como falha o fechamento em escalar,
não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.