Questão 3. (3 pontos) Mostre que as funções abaixo são diferenciáveis.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar que essa função é diferenciável.
Informações relevantes: a função está definida para todo . Não há outras restrições no enunciado.
Informações relevantes: a função está definida para todo
Passo 2
Vamos lembrar, com calma, o que significa dizer que
é diferenciável num ponto
. Seja
um pequeno vetor de variação. Dizemos que
é diferenciável em
se existe um mapa linear
tal que
Aqui
é a norma euclidiana
e a notação
significa uma função que, dividida por
, tende a
quando
. Em palavras: o erro após subtrair a aproximação linear deve ser muito menor que o tamanho de
.
Passo 3
Um jeito prático de construir o mapa linear
é usar as derivadas parciais (se existirem). Vamos calcular as derivadas parciais de
de maneira bem direta:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Portanto as derivadas parciais existem em todo ponto e são
Passo 4
A partir das derivadas parciais, o candidato natural para o mapa linear
(a diferencial) em
é o produto escalar do gradiente com
:
Observe que
é linear em
porque é soma de termos de primeira ordem.
Passo 5
Agora vamos calcular explicitamente o resto
para verificar a condição
. Faça a conta passo a passo:
Subtraindo
e o linear
, obtemos
Portanto o resto é exatamente
.
Passo 6
Precisamos mostrar que
quando
. Como
,
Use a desigualdade elementar
(porque adicionar
sob a raiz só aumenta o valor). Então
Portanto
Passo 7
Como
quando
, pelo confronto temos
Isto mostra que
, ou seja, existe o mapa linear
que descreve a aproximação linear de
em
com erro de ordem menor que
.
Passo 8
Como comentário extra (atalho comum em provas): as derivadas parciais que encontramos,
e
, são funções contínuas de
. Um teorema padrão diz que se as derivadas parciais existem num vizinhança de um ponto e são contínuas nessa vizinhança, então a função é diferenciável nesse ponto. Assim, por essa via alternativa também se conclui a diferenciabilidade em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
. A diferencial em
é