Questão 3. (3 pontos) Mostre que as funções abaixo são diferenciáveis.
f(x, y)=x^{2}+y.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=x^{2}+y
e pede para mostrar que essa função é diferenciável.
Informações relevantes: a função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar, com calma, o que significa dizer que f é diferenciável num ponto (x,y). Seja (h,k) um pequeno vetor de variação. Dizemos que f é diferenciável em (x,y) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que
f(x+h,y+k)-f(x,y)-L(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big)\quad\text{quando }\;(h,k)\to(0,0).
Aqui \|(h,k)\| é a norma euclidiana
\|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}},
e a notação o(\|(h,k)\|) significa uma função que, dividida por \|(h,k)\|, tende a 0 quando (h,k)\to(0,0). Em palavras: o erro após subtrair a aproximação linear deve ser muito menor que o tamanho de (h,k).

Passo 3

Um jeito prático de construir o mapa linear L é usar as derivadas parciais (se existirem). Vamos calcular as derivadas parciais de f de maneira bem direta:
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}+y-(x^{2}+y)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{x^{2}+(y+k)-(x^{2}+y)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{k}{k}=1.
Portanto as derivadas parciais existem em todo ponto e são
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1.

Passo 4

A partir das derivadas parciais, o candidato natural para o mapa linear L (a diferencial) em (x,y) é o produto escalar do gradiente com (h,k):
L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,k=2x\,h+1\cdot k.
Observe que L é linear em (h,k) porque é soma de termos de primeira ordem.

Passo 5

Agora vamos calcular explicitamente o resto
R(h,k):=f(x+h,y+k)-f(x,y)-L(h,k)
para verificar a condição R(h,k)=o(\|(h,k)\|). Faça a conta passo a passo:
f(x+h,y+k)=(x+h)^{2}+(y+k)=x^{2}+2xh+h^{2}+y+k.
Subtraindo f(x,y)=x^{2}+y e o linear L(h,k)=2x h+k, obtemos
R(h,k)=\big(x^{2}+2xh+h^{2}+y+k\big)-(x^{2}+y)-(2xh+k)=h^{2}.
Portanto o resto é exatamente \;R(h,k)=h^{2}.

Passo 6

Precisamos mostrar que \dfrac{|R(h,k)|}{\|(h,k)\|}\to0 quando (h,k)\to(0,0). Como R(h,k)=h^{2},
\frac{|R(h,k)|}{\|(h,k)\|}=\frac{h^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}.
Use a desigualdade elementar |h|\le\sqrt{h^{2}+k^{2}} (porque adicionar k^{2} sob a raiz só aumenta o valor). Então
\frac{h^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=\frac{|h|\cdot|h|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\le\frac{|h|\cdot\sqrt{h^{2}+k^{2}}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=|h|.
Portanto
0\le\frac{|R(h,k)|}{\|(h,k)\|}\le |h|.

Passo 7

Como |h|\to0 quando (h,k)\to(0,0), pelo confronto temos
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{|R(h,k)|}{\|(h,k)\|}=0.
Isto mostra que R(h,k)=o(\|(h,k)\|), ou seja, existe o mapa linear L(h,k)=2x h+k que descreve a aproximação linear de f em (x,y) com erro de ordem menor que \|(h,k)\|.

Passo 8

Como comentário extra (atalho comum em provas): as derivadas parciais que encontramos, \;2x e \;1, são funções contínuas de (x,y). Um teorema padrão diz que se as derivadas parciais existem num vizinhança de um ponto e são contínuas nessa vizinhança, então a função é diferenciável nesse ponto. Assim, por essa via alternativa também se conclui a diferenciabilidade em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função f(x,y)=x^{2}+y é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. A diferencial em (x,y) é
df_{(x,y)}(h,k)=2x\,h+k.

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