Questão 2: (1,3 pontos)
A derivada direcional de uma função diferenciável f(x, y) em um ponto P na direção de i+j é 2 , e na direção de 3 i-4 j é -3raiz2. Encontre a derivada direcional de f em P na direção de 7 i-j.

Passo 1

Temos uma função diferenciável f(x,y) e, no ponto P, sabemos que a derivada direcional em direção a vec i+vec j vale 2 e em direção a 3vec i-4vec j vale -tfrac3raiz2. O conteúdo principal é a relação entre derivada direcional e o gradiente, ou seja, Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u para vec u unitário. Nosso objetivo é achar a derivada direcional em 7vec i-vec j, usando essas informações.

Passo 2

Como f é diferenciável, existe o gradiente nabla f(P)=(a,b). Para cada direção dada, escrevemos o produto escalar com o vetor unitário correspondente:
(a,b)cdot(1,1)raiz2=2 Rightarrow a+b=2raiz2,
(a,b)cdot(3,-4)5=-3raiz2 Rightarrow 3a-4b=-15raiz2
Resolvendo o sistema
a+b=2raiz2, 3a-4b=-dfrac15raiz2,
isolamos b=2raiz2-a e substituímos na segunda:
3a-4(2raiz2-a)=-15raiz2 Rightarrow7a=1raiz2 Rightarrow a=17raiz2=raiz214,
b=2raiz2-raiz214=27raiz214

Passo 3

Para a direção 7vec i-vec j, o vetor unitário é
vec u=(7,-1)raiz50=(7,-1)5raiz2
Então a derivada direcional é
(nabla f(P))cdotvec u=7a-b5raiz2=-10raiz2/75raiz2=-27

Resposta

-tfrac27

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