Questão 3: (1,3 pontos)
Transforme a seguinte integral dupla
em coordenadas polares e resolve:
[
I=\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \int_{\sqrt{1-x{2}}}{x} d y d x+\int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{x} d y d x+\int_{\sqrt{2}}^{2} \int_{0}{\sqrt{4-x{2}}} d y d x
Transforme a seguinte integral dupla
I=\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \int_{\sqrt{1-x{2}}}{x} d y d x+\int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{x} d y d x+\int_{\sqrt{2}}^{2} \int_{0}{\sqrt{4-x{2}}} d y d x
Passo 1
O enunciado pede para transformar em coordenadas polares a soma de três integrais que, no plano xy, descrevem uma região no primeiro quadrante limitada por: o círculo interno de raio 1, o círculo externo de raio 2, a reta y=x (θ=π/4) e o eixo x (θ=0). Vamos usar essa informação para reescrever e calcular I.
Passo 2
Para entender melhor, note que cada parte da integral soma pontos com x≥1/√2 e y≥0, sempre sujeitando-se às curvas x²+y²=1, x²+y²=4 e à reta y=x. Analisando em conjunto, a região é exatamente o setor anelar definido por
Passo 3
Em coordenadas polares, temos dx,dy = r,dr,d\theta. Então a integral I vira
Passo 4
Agora basta calcular a integral interna em r e depois integrar em θ:
Passo 5
e em seguida