Questão 3: (1,3 pontos)
Transforme a seguinte integral dupla I em coordenadas polares e resolve:
[
I=\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \int_{\sqrt{1-x{2}}}{x} d y d x+\int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{x} d y d x+\int_{\sqrt{2}}^{2} \int_{0}{\sqrt{4-x{2}}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para transformar em coordenadas polares a soma de três integrais que, no plano xy, descrevem uma região no primeiro quadrante limitada por: o círculo interno de raio 1, o círculo externo de raio 2, a reta y=x (θ=π/4) e o eixo x (θ=0). Vamos usar essa informação para reescrever e calcular I.

Passo 2

Para entender melhor, note que cada parte da integral soma pontos com x≥1/√2 e y≥0, sempre sujeitando-se às curvas x²+y²=1, x²+y²=4 e à reta y=x. Analisando em conjunto, a região é exatamente o setor anelar definido por
1<= r<= 2, 0<= theta<= pi4

Passo 3

Em coordenadas polares, temos dx,dy = r,dr,d\theta. Então a integral I vira
I=integraltheta=0^pi/4integralr=1^2r,dr,dtheta

Passo 4

Agora basta calcular a integral interna em r e depois integrar em θ:
integralr=1^2r,dr=r^22|1^2=4-12=32,

Passo 5

e em seguida
I=integral0^pi/432,dtheta=32,theta|0^pi/4=32cdotpi4=3pi8

Resposta

I=3pi8

Exercícios relacionados