Questão 1: (1,3 pontos)
Seja
uma função de classe
de duas variáveis independentes
e
tal que
. Considere a função
de duas variáveis independentes
e
definida por
. Determine a equação do plano tangente á superfície
no ponto
.
Seja
Passo 1
A questão pede a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. A função
é composta de
via
. Sabemos que
,
e
. Vamos usar derivadas parciais, a regra da cadeia e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Para uma função de duas variáveis, o plano tangente em
é:
Essa fórmula vem da aproximação linear de
.
Passo 3
Definimos internamente
de modo que
. Em
temos
e
, logo
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de
e
. Para
usamos a cadeia em
e em
:
Para
temos a derivada de
:
Em
isso dá
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
temos
No ponto
usamos
e
, resultando
Passo 6
Finalmente, substituímos tudo na fórmula do plano tangente. Sabendo que
, temos
que se simplifica para
Resposta
z = 4x - y - 1