Questão 1: (1,3 pontos)
Seja z=g(x, y) uma função de classe C^1 de duas variáveis independentes x e y tal que z=f(x, y). Considere a função x de duas variáveis independentes y e z=f(x, y) definida por (x, y)=(1,0). Determine a equação do plano tangente á superfície no ponto .

Passo 1

A questão pede a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (1,0). A função f é composta de g via f(x,y)=gl(2arctan(x^2+y^2),e^xyr). Sabemos que g(pi/2,1)=3, gx(pi/2,1)=2 e gy(pi/2,1)=-1. Vamos usar derivadas parciais, a regra da cadeia e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Para uma função de duas variáveis, o plano tangente em (x0,y0) é:
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Essa fórmula vem da aproximação linear de f.

Passo 3

Definimos internamente
u(x,y) = 2arctan(x^2+y^2),
v(x,y) = e^xy,
de modo que f(x,y)=g(u(x,y),v(x,y)). Em (x,y)=(1,0) temos x^2+y^2=1 e xy=0, logo
u(1,0)=2arctan(1)=pi/2,
v(1,0)=e^0=1

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de u e v. Para u usamos a cadeia em arctan e em x^2+y^2:
ux = 2cdot 11+(x^2+y^2)^2cdot 2x = 4x1+(x^2+y^2)^2,
uy = 4y1+(x^2+y^2)^2
Para v temos a derivada de e^xy:
vx = y,e^xy, vy = x,e^xy
Em (1,0) isso dá
ux(1,0)=2,; nuy(1,0)=0,; vx(1,0)=0,; vy(1,0)=1

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para f(x,y)=g(u,v) temos
fx = gx(u,v),ux + gy(u,v),vx,
fy = gx(u,v),uy + gy(u,v),vy
No ponto (1,0) usamos gx(pi/2,1)=2 e gy(pi/2,1)=-1, resultando
fx(1,0)=2cdot2 +(-1)cdot0 = 4,
fy(1,0)=2cdot0 +(-1)cdot1 = -1

Passo 6

Finalmente, substituímos tudo na fórmula do plano tangente. Sabendo que f(1,0)=g(pi/2,1)=3, temos
z = 3 + 4,(x-1) +(-1),(y-0) = 3+4(x-1) - y,
que se simplifica para
z = 4x - y - 1

Resposta

z = 4x - y - 1

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