Questão 4 ( 1,0 pontos). Desenhe o conjunto A dado e calcule sua área, onde A é o conjunto limitado pelas seguintes curvas, y=|x| e y=2 x^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: a região A é limitada pelas curvas y=|x| e y=2x^2. Vamos usar cálculo de áreas pelo método da integral de diferença de funções e encontrar os pontos de interseção.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, resolvemos |x| = 2x^2:
|x| = 2x^2
Caso x>=0: x = 2x^2 x(1-2x)=0 logo x=0 ou x=1/2.
Caso x<=0: -x = 2x^2 x(2x+1)=0 logo x=0 ou x=-1/2.
Assim os pontos de interseção são x=-1/2,0,1/2.

Passo 3

Observando o gráfico, entre x=-1/2 e x=1/2 a função y=|x| fica acima de y=2x^2. Logo a área é
A = ,integral-1/2^1/2 ,l(|x| - 2x^2r),dx
Como a região é simétrica em relação a y-eixo, usamos:

Passo 4

A = 2,integral0^1/2 (x - 2x^2),dx
Agora calculamos essa integral:
integral0^1/2 (x - 2x^2),dx = [x^22 - 2x^33]0^1/2 = 18 - 23cdot18 = 18 - 112 = 124
Multiplicando por 2:

Passo 5

A = 2 times 124 = 112

Resposta

112

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