Questão 4. (2 pontos) Encontre a área da região circulada pelo cardioide r=1+cos theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo cardioide r = 1 + costheta. Esse é um problema de cálculo em coordenadas polares, em que vamos usar a fórmula da área em função de r(theta) e integrar de theta=0 até theta=2pi.

Passo 2

A fórmula geral da área em coordenadas polares é
A = 12 integraltheta1^theta2 l(r(theta)r)^2 , dtheta
Aqui temos theta1=0, theta2=2pi e r(theta)=1+costheta.

Passo 3

Substituindo r(theta) na fórmula, obtemos
A = 12 integral0^2pi l(1 + costhetar)^2 , dtheta

Passo 4

Primeiro expandimos o quadrado:
l(1 + costhetar)^2 = 1 + 2costheta + cos^2theta
Em seguida usamos cos^2theta = tfrac1+cos2theta2 para reescrever
1 + 2costheta + cos^2theta = 1 + 2costheta + 1+cos2theta2 = 32 + 2costheta + 12cos2theta
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A = 12 integral0^2pi l(32 + 2costheta + tfrac12cos2thetar),dtheta
Agora integramos termo a termo:
integral0^2pi 32,dtheta = 32cdot 2pi = 3pi, integral0^2pi 2costheta,dtheta = 0, integral0^2pi 12cos2theta,dtheta = 0

Passo 5

Somando as contribuições e aplicando o fator tfrac12, vem
A = 12times 3pi = 3pi2

Resposta

3pi2

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