Questão 2 (2 pontos)
Seja \varphi a função de Euler. Calcule \varphi(500) e \varphi(360).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função totiente de Euler \varphi nos números 500 e 360. Lembra que, para achar \varphi(n), a gente fatora n em primos e usa
\varphi(n) = n \prod_{p\mid n}\Bigl(1 - \frac{1}{p}\Bigr).

Passo 2

Vamos começar com \varphi(500). Primeiro fatoramos:
500 = 2^2 \cdot 5^3.
Aplicando a fórmula,
\varphi(500) = 500 \Bigl(1 - \frac{1}{2}\Bigr)\Bigl(1 - \frac{1}{5}\Bigr) = 500 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 200.

Passo 3

Agora \varphi(360). Fatoração:
360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.
Então
\varphi(360) = 360 \Bigl(1 - \frac{1}{2}\Bigr)\Bigl(1 - \frac{1}{3}\Bigr)\Bigl(1 - \frac{1}{5}\Bigr) = 360 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 96.

Resposta

\varphi(500)=200
\varphi(360)=96

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