Questão 4: (2 pontos) Determine partial wpartial x e partial wpartial y onde w=u^2 sen v, u=x^3-2 y^3, v=x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de w em relação a x e y . O problema envolve funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia para derivar. Precisamos entender como w depende de u e v , que por sua vez dependem de x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
w = u^2 cdot sin(v)
u = x^3 - 2y^3
v = xy^2
Queremos encontrar partial wpartial x e partial wpartial y .

Passo 3

Vamos começar calculando partial wpartial x . Usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial wpartial x = partial wpartial u cdot partial upartial x + partial wpartial v cdot partial vpartial x

Passo 4

Calculando cada derivada necessária:
  1. partial wpartial u = 2u cdot sin(v)
  2. partial upartial x = 3x^2
  3. partial wpartial v = u^2 cdot cos(v)
  4. partial vpartial x = y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
partial wpartial x = (2u cdot sin(v)) cdot (3x^2) + (u^2 cdot cos(v)) cdot (y^2)
Simplificando:
partial wpartial x = 6u x^2 cdot sin(v) + u^2 y^2 cdot cos(v)

Passo 6

Agora, vamos calcular partial wpartial y usando a mesma abordagem:
partial wpartial y = partial wpartial u cdot partial upartial y + partial wpartial v cdot partial vpartial y

Passo 7

Calculando cada derivada necessária:
  1. partial upartial y = -6y^2
  2. partial vpartial y = 2xy

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
partial wpartial y = (2u cdot sin(v)) cdot (-6y^2) + (u^2 cdot cos(v)) cdot (2xy)
Simplificando:
partial wpartial y = -12u y^2 cdot sin(v) + 2u^2 x y cdot cos(v)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = 6u x^2 cdot sin(v) + u^2 y^2 cdot cos(v)
partial wpartial y = -12u y^2 cdot sin(v) + 2u^2 x y cdot cos(v)

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