Questão 4: ( 2 pontos) Determine a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada: f(x, y)=x e^3 y ; P(4,0) ; a=-i+3 j.

Passo 1

Tranquilo, vamos lá! A questão pede a derivada direcional de
f(x,y)=x,e^3y
no ponto P=(4,0) na direção do vetor vec a=-vec i+3vec j.
Isso é cálculo diferencial, mais especificamente derivada direcional.
O que a gente vai precisar:
  1. as derivadas parciais de f,
  2. montar o gradiente nabla f,
  3. transformar vec a em vetor unitário,
  4. fazer o produto escalar nabla f(P)cdot u.

Passo 2

Primeiro a teoria: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é
D uf(P)=nabla f(P)cdot u
O gradiente é nabla f=(fx,fy), onde
fx=partialpartial x(x,e^3y) e
fy=partialpartial y(x,e^3y).
Calculando:
fx(x,y)=e^3y, fy(x,y)=3x,e^3y
Em P=(4,0):
fx(4,0)=e^0=1, fy(4,0)=3cdot4cdot e^0=12
Logo nabla f(4,0)=(1,12).

Passo 3

Agora a gente normaliza vec a=(-1,3).
O comprimento é
|vec a|=raiz(-1)^2+3^2=raiz10.
Então o vetor unitário é
u=vec a|vec a| =l(-tfrac1raiz10,,tfrac3raiz10r)

Passo 4

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar:
Dvec af(4,0) =nabla f(4,0)cdot u =(1,12)cdotl(-tfrac1raiz10,,tfrac3raiz10r) =1cdot(-1)+12cdot3raiz10 =-1+36raiz10 =35raiz10

Resposta

Dvec af(4,0)=35raiz10

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