Questão 5: (2 pontos) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equa no ponto P indicado:
2-4 y^2-25 z^2=40 ; P(4,1,-2)

Passo 1

O enunciado quer o plano tangente e a reta normal à superfície implícita
2 - 4y^2 - 25z^2 = 40
no ponto P=(4,1,-2).
O conteúdo é cálculo multivariado: derivadas parciais, gradiente de função implícita, plano tangente e reta normal. Vamos usar o gradiente para achar o vetor normal e daí montar o plano e a reta.

Passo 2

Primeiro, a gente coloca tudo num único lado pra definir
F(x,y,z) = 2 - 4y^2 - 25z^2 - 40,
assim o “gráfico” vira o nível F=0. O vetor normal à superfície é o gradiente
nabla F = l(Fx,,Fy,,Fzr)
Como F não depende de x, temos
Fx = 0, Fy = -8y, Fz = -50z
No ponto P(4,1,-2):
nabla F(P) = l(0,,-8cdot1,,-50cdot(-2)r) = (0,,-8,;100)

Passo 3

O plano tangente em P vem da fórmula
nabla F(P);cdot;l((x,y,z)-Pr);=;0
Substituindo nabla F(P)=(0,-8,100) e P=(4,1,-2):
0,(x-4);-;8,(y-1);+;100,(z+2);=;0 ;Longrightarrow; -8(y-1)+100(z+2)=0
Arrumando:
2y - 25z - 52 = 0

Passo 4

A reta normal é a reta que passa por P na direção do gradiente, isto é
(x,y,z) ;=;(4,1,-2) ;+; t,(0,-8,100),
ou em forma paramétrica:
x = 4, y = 1 - 8t, z = -2 + 100t

Resposta

Plano tangente:
2y - 25z - 52 = 0
Reta normal:
x = 4, y = 1 - 8t, z = -2 + 100t

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