Questão 5: (2 pontos) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equa no ponto
indicado:
Passo 1
O enunciado quer o plano tangente e a reta normal à superfície implícita
no ponto
.
O conteúdo é cálculo multivariado: derivadas parciais, gradiente de função implícita, plano tangente e reta normal. Vamos usar o gradiente para achar o vetor normal e daí montar o plano e a reta.
O conteúdo é cálculo multivariado: derivadas parciais, gradiente de função implícita, plano tangente e reta normal. Vamos usar o gradiente para achar o vetor normal e daí montar o plano e a reta.
Passo 2
Primeiro, a gente coloca tudo num único lado pra definir
assim o “gráfico” vira o nível
. O vetor normal à superfície é o gradiente
Como
não depende de
, temos
No ponto
:
Passo 3
O plano tangente em
vem da fórmula
Substituindo
e
:
Arrumando:
Passo 4
A reta normal é a reta que passa por
na direção do gradiente, isto é
ou em forma paramétrica:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: