Questão 3 (3,0 pontos). Sejam as retas
r: x+y-4=0 e s: x=1-2 t, y=2-t
(a) [1,0 ponto] Determine o menor ângulo entre as retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o menor ângulo entre duas retas. Aqui a gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre retas usando suas inclinações (ou coeficientes angulares). Para isso, vamos precisar identificar as inclinações das duas retas e aplicar a fórmula do ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o coeficiente angular da reta r . A equação da reta r é:
r: x + y - 4 = 0
Vamos colocar essa equação na forma y = mx + b , onde m é o coeficiente angular:
y = -x + 4
Então, o coeficiente angular da reta r ( m1 ) é:
m1 = -1

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta [s). A reta está dada nas formações paramétricas:
Para encontrar a equação da reta na forma em função de ou . Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na equação de :
Então, a equação da reta na forma é:
Portanto, o coeficiente angular da reta ( ) é:

Passo 4

Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre elas:
tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 |
Substituindo m1 = -1 e m2 = 12 :
tan(theta) = | 12 - (-1)1 + (-1) times 12 | = | 3212 | = | 3 | = 3
Para encontrar o ângulo theta , aplicamos a função arctangente:
theta = arctan(3) approx 71,57^circ

Resposta

O menor ângulo entre as retas é aproximadamente 71,57^circ .

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