Questão 2. (2,0 pontos) Determine a equação paramétrica e a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto A na direção do vetor v :
(b) (1,0 pontos) A(4,-5) e v=(-5,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação paramétrica e a equação cartesiana de uma reta. A reta passa pelo ponto A(4, -5) e segue na direção do vetor v = (-5, 2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como representar retas no plano usando pontos e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação paramétrica de uma reta. Basicamente, ela nos dá uma maneira de expressar as coordenadas dos pontos da reta em função de um parâmetro, geralmente denotado por t. A equação paramétrica é útil porque descreve todos os pontos que pertencem à reta.

Passo 3

Para escrever a equação paramétrica, usamos o ponto que a reta passa e o vetor direção da reta. A fórmula geral fica assim:
x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t
Onde:
  • (x0, y0) é o ponto pela qual a reta passa (no caso, A(4, -5)).
  • (a, b) são as componentes do vetor direção v = (-5, 2).
  • t é o parâmetro.
Aplicando os valores:
x = 4 + (-5) cdot t y = -5 + 2 cdot t
Simplificando:
x = 4 - 5t y = -5 + 2t

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação cartesiana da reta. A equação cartesiana não depende de um parâmetro e relaciona diretamente x e y. Para isso, podemos eliminar o parâmetro t das equações paramétricas que encontramos.
Da primeira equação paramétrica:
x = 4 - 5t Rightarrow t = 4 - x5
Substituindo esse valor de t na segunda equação:
y = -5 + 2 ( 4 - x5 ) y = -5 + 8 - 2x5 Mu<iplicando tudo por 5 para eliminar o denominador:
5y = -25 + 8 - 2x 5y = -17 - 2x 2x + 5y + 17 = 0

Resposta

  • Equação Paramétrica:
x = 4 - 5t y = -5 + 2t
  • Equação Cartesiana:
2x + 5y + 17 = 0

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