Questão 3: (2 pontos) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação dada no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação 2x^2 - y^2 + 3z^2 = 10 no ponto P(2, -2, 1). Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com superfícies quadricas. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, mais precisamente, o gradiente da função que define a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa a superfície. Podemos reescrever a equação dada como:
f(x, y, z) = 2x^2 - y^2 + 3z^2 - 10 = 0
O próximo passo é encontrar o gradiente dessa função, que nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto. O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a x, y e z:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 4x
partial fpartial y = -2y
partial fpartial z = 6z
Portanto, o gradiente é:
nabla f = (4x, -2y, 6z)

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(2, -2, 1):
nabla f(P) = (4 cdot 2, -2 cdot (-2), 6 cdot 1) = (8, 4, 6)
Esse vetor (8, 4, 6) é um vetor normal à superfície no ponto P.

Passo 5

Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P.

Passo 6

Substituindo os valores:
8(x - 2) + 4(y + 2) + 6(z - 1) = 0
Vamos simplificar:
8x - 16 + 4y + 8 + 6z - 6 = 0
8x + 4y + 6z - 14 = 0
Esse é o plano tangente à superfície no ponto P.

Passo 7

Agora, para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal como direção da reta e passa pelo ponto P. A equação paramétrica da reta é:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
onde t é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores:
x = 2 + 8t
y = -2 + 4t
z = 1 + 6t
Essa é a reta normal à superfície no ponto P.

Resposta

Plano Tangente: 8x + 4y + 6z - 14 = 0
Reta Normal:
x = 2 + 8t y = -2 + 4t z = 1 + 6t

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