Questão 3: (2 pontos) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação dada no ponto
indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação
no ponto
. Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com superfícies quadricas. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, mais precisamente, o gradiente da função que define a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa a superfície. Podemos reescrever a equação dada como:
O próximo passo é encontrar o gradiente dessa função, que nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto. O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a
,
e
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é um vetor normal à superfície no ponto
.
Passo 5
Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde
são as componentes do vetor normal e
são as coordenadas do ponto
.
Passo 6
Substituindo os valores:
Vamos simplificar:
Esse é o plano tangente à superfície no ponto
.
Passo 7
Agora, para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal como direção da reta e passa pelo ponto
. A equação paramétrica da reta é:
onde
é o parâmetro.
Passo 8
Substituindo os valores:
Essa é a reta normal à superfície no ponto
.
Resposta
Plano Tangente:
Reta Normal: