Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+9 y=x^2 e^3 x+6

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' + 9y = x^2 e^3x + 6
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Primeiro encontramos a solução da homogênea yh a partir da equação característica, depois construímos uma solução particular yp=yp1+yp2 apropriada para cada termo do membro direito.

Passo 2

Equação homogênea e solução geral da parte homogênea:
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 implies r = pm 3i,
logo
yh(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)

Passo 3

Escolha de yp1 para o termo x^2 e^3x:
Como 3 não é raiz da característica, supomos
yp1(x) = e^3xl(Ax^2 + Bx + Cr)
Denotando P(x)=Ax^2+Bx+C, usa-se a identidade
yp1'' + 9yp1 = e^3xl(P'' + 6P' + 18Pr),
de modo que devemos ter
P'' + 6P' + 18P = x^2

Passo 4

Determinação de A,B,C:
Calculamos
P''=2A, P'=2Ax+B,
logo
P''+6P'+18P =2A + 6(2Ax+B) + 18(Ax^2+Bx+C) =18A,x^2 + (12A+18B),x + (2A+6B+18C)
Igualando coeficientes a x^2+0x+0 resulta no sistema
18A = 1, 12A + 18B = 0, 2A + 6B + 18C = 0,
cuja solução é
A = tfrac118, B = -tfrac127, C = tfrac1162
Assim
yp1(x) = e^3xl(tfrac118x^2 - tfrac127x + tfrac1162r)

Passo 5

Escolha de yp2 para o termo constante 6:
Como r=0 não é raiz da característica, tomamos
yp2(x) = D,
substituindo em y''+9y=6
9D = 6 implies D = tfrac23

Passo 6

Solução geral da não-homogênea:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + e^3xl(tfrac118x^2 - tfrac127x + tfrac1162r) + tfrac23

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + e^3xl(tfracx^218 - tfracx27 + tfrac1162r) + tfrac23

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