Sobre a equação (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)-2 y) d y=0; é correto afirmar que:

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial da forma
l(e^2y-ycos(xy)r),dx ;+;l(2x e^2y-xcos(xy)-2yr),dy = 0
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas. Para resolver precisamos verificar se existe uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = M(x,y)=e^2y-ycos(xy), phiy = N(x,y)=2x e^2y-xcos(xy)-2y

Passo 2

Calculamos
partial Mpartial y = partialpartial yl(e^2y-ycos(xy)r) =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy),
e
partial Npartial x =partialpartial xl(2x e^2y-xcos(xy)-2yr) =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy)

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos phi integrando M em relação a x:
phi(x,y) =integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x e^2y-yintegralcos(xy),dx =x e^2y-ycdotsin(xy)y =x e^2y-sin(xy)+h(y)

Passo 5

Derivando em y e igualando a N:
phiy =2x e^2y-xcos(xy)+h'(y) =2x e^2y-xcos(xy)-2y ;Longrightarrow; h'(y)=-2y ;Longrightarrow; h(y)=-y^2
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phi(x,y)=x e^2y-sin(xy)-y^2

Resposta

A equação é exata e a solução geral implícita é
x e^2y-sin(xy)-y^2=C

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