Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo A Ô B e determine sua interseção com o lado AB.
l x=75 z y=75 z

Passo 1

Temos o triângulo com vértices O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Precisamos achar a bissetriz interna do ângulo widehatAOB (ângulo no vértice O) e depois determinar onde essa reta intercepta o lado AB. Vamos usar o fato de que, em R^3, a direção da bissetriz interna é dada pela soma dos vetores unitários ao longo de OA e OB.

Passo 2

Calculemos os vetores e seus comprimentos:
OA = A - O = (3,4,0), OB = B - O = (1,2,2)
Seus módulos são
l|OAr| = raiz3^2+4^2+0^2 = 5, l|OBr| = raiz1^2+2^2+2^2 = 3
Os vetores unitários são
OA|OA| = l(tfrac35,tfrac45,0r), OB|OB| = l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)
Somando-os, obtemos a direção da bissetriz:
v = OA|OA| + OB|OB| = l(tfrac35+tfrac13,;tfrac45+tfrac23,;0+tfrac23r) = l(tfrac1415,tfrac2215,tfrac1015r) = (7,11,5),k,
onde k é um fator escalar. Logo a direção pode ser tomada como (7,11,5).

Passo 3

As equações reduzidas da reta que passa por O com direção (7,11,5) são
x7 = y11 = z5
Equivalente a escolher o parâmetro z e escrever
x = tfrac75,z, y = tfrac115,z

Passo 4

Para achar a interseção com AB, escrevemos o ponto genérico em AB:
P(t) = A + t,(B-A) = (3,4,0) + tl((1,2,2)-(3,4,0)r) = (3-2t,;4-2t,;2t)
Esse ponto deve satisfazer
x7 = y11 = z5
Ou seja,
3-2t7 = 4-2t11 = 2t5
Da última igualdade, 2t5 = k implica k = tfrac2t5. Então
3-2t = 7k = 7cdottfrac2t5 = tfrac14t5 Longrightarrow 3 = tfrac14t5 + 2t = tfrac24t5 Longrightarrow t = tfrac58
Logo k = tfrac2t5 = tfrac2cdot(5/8)5 = tfrac14. Então a interseção é
Pl(tfrac58r) = l(3-2cdottfrac58,;4-2cdottfrac58,;2cdottfrac58r) = l(tfrac74,;tfrac114,;tfrac54r)

Resposta

Equações da bissetriz em forma reduzida:
x7 = y11 = z5,
equivalente a
x = tfrac75,z, y = tfrac115,z
Interseção com AB:
Pl(tfrac74,,tfrac114,,tfrac54r)

Exercícios relacionados