Seja integral triplaB x y z d V.
(a) Escreva a integral em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
(b) Encontre o valor da integral usando uma das integrais iteradas obtida no item (a). (Resp.: 0.)

Passo 1

O exercício pede pra calcular integral triplaB x y z ,dV onde B=(x,y,z)in R^3;0<= z<=1-x^2-y^2. O conteúdo é integração tripla e mudança de variáveis (cartesiano, cilíndrico e esférico). Pra resolver, vamos primeiro descrever o domínio em cada sistema e montar a integral.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas o domínio projetado no plano xy é o disco x^2+y^2<=1, e z vai de 0 até 1-x^2-y^2. Logo
integral triplaB x y z,dV = integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2integralz=0^1-x^2-y^2 x,y,z ,dz,dy,dx

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas usamos x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dz,dr,dtheta. O domínio fica: 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=1-r^2. Assim
integral triplaB x y z,dV = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^1-r^2 (rcostheta)(rsintheta),z,(r) ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Pra coordenadas esféricas usamos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A condição z=1-x^2-y^2 vira rhocosphi=1-rho^2sin^2phi, o que dá
rho^2sin^2phi+rhocosphi-1=0Longrightarrow rho=raizcos^2phi+4sin^2phi-cosphi2sin^2phi

Passo 5

E z>=0 implica 0<=phi<=tfracpi2. Logo a integral é
integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/2integralrho=0^raizcos^2phi+4sin^2phi-cosphi2sin^2phi (rhosinphicostheta)(rhosinphisintheta)(rhocosphi),(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta

Passo 6

Vamos usar a forma cilíndrica pra calcular. O integrando fica
rcosthetacdot rsinthetacdot zcdot r = r^3,costheta,sintheta,z

Passo 7

A integral completa então é
integraltheta=0^2picosthetasintheta,dtheta;integralr=0^1r^3,dr;integralz=0^1-r^2z,dz

Passo 8

Mas note que
integral0^2picosthetasintheta,dtheta = 0,
pois é integral de uma função senóide simétrica. Portanto toda a integral tripla vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados