Seja
.
(a) Escreva a integral
em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
(b) Encontre o valor da integral usando uma das integrais iteradas obtida no item (a). (Resp.: 0.)
(a) Escreva a integral
(b) Encontre o valor da integral usando uma das integrais iteradas obtida no item (a). (Resp.: 0.)
Passo 1
O exercício pede pra calcular
onde
. O conteúdo é integração tripla e mudança de variáveis (cartesiano, cilíndrico e esférico). Pra resolver, vamos primeiro descrever o domínio em cada sistema e montar a integral.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas o domínio projetado no plano
é o disco
, e
vai de 0 até
. Logo
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas usamos
,
,
. O domínio fica:
,
,
. Assim
Passo 4
Pra coordenadas esféricas usamos
,
,
e
. A condição
vira
, o que dá
Passo 5
E
implica
. Logo a integral é
Passo 6
Vamos usar a forma cilíndrica pra calcular. O integrando fica
Passo 7
A integral completa então é
Passo 8
Mas note que
pois é integral de uma função senóide simétrica. Portanto toda a integral tripla vale zero.
Resposta
0