Questão 1: ( 2,5 pontos) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbolico z=4 x^{2}-y^{2}+3 e acima do retângulo R=[-2,2] \times[-1,1].

Passo 1

Tranquilo, vamos determinar o volume do sólido que fica abaixo do paraboloide z=4x^2 - y^2 +3 e acima do retângulo
R = [-2,2]\times[-1,1].
Para isso usamos o Teorema de Fubini e calculamos a integral dupla de z sobre R.

Passo 2

O volume V é dado por
V = \iint_{R} \bigl(4x^2 - y^2 + 3\bigr)\,dA = \int_{x=-2}^{2}\!\int_{y=-1}^{1} \bigl(4x^2 - y^2 + 3\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y, com x fixo:
\int_{y=-1}^{1} \bigl(4x^2 - y^2 + 3\bigr)\,dy = \int_{-1}^{1} (4x^2+3)\,dy \;-\;\int_{-1}^{1} y^2\,dy.
Como \int_{-1}^{1}(4x^2+3)\,dy = 2(4x^2+3) e \int_{-1}^{1}y^2\,dy = \tfrac{2}{3}, segue
\int_{-1}^{1} \bigl(4x^2 - y^2 + 3\bigr)\,dy = 2(4x^2+3) \;-\;\tfrac{2}{3} = 8x^2 + 6 - \tfrac{2}{3} = 8x^2 + \tfrac{16}{3}.

Passo 4

Agora integramos em x:
V = \int_{x=-2}^{2} \Bigl(8x^2 + \tfrac{16}{3}\Bigr)\,dx = 8\int_{-2}^{2}x^2\,dx \;+\;\tfrac{16}{3}\int_{-2}^{2}1\,dx.
Sabendo que \int_{-2}^{2}x^2\,dx = \tfrac{16}{3} e \int_{-2}^{2}1\,dx = 4, vem
V = 8\cdot \tfrac{16}{3} + \tfrac{16}{3}\cdot 4 = \tfrac{128}{3} + \tfrac{64}{3} = \tfrac{192}{3} = 64.

Resposta

O volume do sólido é 64.

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