Use as duas formas de calcular derivada para as seguintes funções e pontos.
f(x)=4 x-3 x^{2} ; \quad P(2,-4)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=4x-3x^2 no ponto P(2,-4) de duas maneiras: pela definição de derivada (limite) e pelas regras usuais de diferenciação. Nosso objetivo é encontrar f'(2).

Passo 2

Derivada pela definição de limite:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui a=2. Primeiro calculemos f(2) e f(2+h):
f(2)=4\cdot2-3\cdot2^2=8-12=-4,
f(2+h)=4(2+h)-3(2+h)^2 =8+4h-3\bigl(4+4h+h^2\bigr) =8+4h-12-12h-3h^2 =-4-8h-3h^2.
Então
f(2+h)-f(2)=(-4-8h-3h^2)-(-4)=-8h-3h^2,
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-8h-3h^2}{h}=-8-3h.
Fazendo h\to0,
f'(2)=\lim_{h\to0}\bigl(-8-3h\bigr)=-8.

Passo 3

Derivada pelas regras de diferenciação:
A função é soma de termos de potência, então
f'(x)=\frac{d}{dx}(4x)-\frac{d}{dx}(3x^2) =4-3\cdot2x =4-6x.
Avaliamo-la em x=2:
f'(2)=4-6\cdot2=4-12=-8.

Resposta

f'(2)=-8.

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