Use as duas formas de calcular derivada para as seguintes funções e pontos.
f(x)=x-x^{3} ; \quad P(1,0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x - x^{3} no ponto P(1,0) de duas formas:
  1. Usando a definição de derivada pelo limite
  2. Usando as regras de diferenciação (regra do poder)

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
Calculando f(x+h):
f(x+h) = (x+h) - (x+h)^{3} = x + h - \bigl(x^{3} + 3x^{2}h + 3x h^{2} + h^{3}\bigr).
Então
f(x+h) - f(x) = \bigl[x + h - x^{3} - 3x^{2}h - 3x h^{2} - h^{3}\bigr] - \bigl[x - x^{3}\bigr] = h - 3x^{2}h - 3x h^{2} - h^{3} = h\bigl(1 - 3x^{2} - 3x h - h^{2}\bigr).
Dividindo por h e fazendo h\to0:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 1 - 3x^{2} - 3x h - h^{2} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 1 - 3x^{2}.
Em x=1:
f'(1) = 1 - 3\cdot1^{2} = -2.

Passo 3

Pelas regras de diferenciação, derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}(x) = 1, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) = 3x^{2},
logo
f'(x) = 1 - 3x^{2},
e em x=1:
f'(1) = 1 - 3\cdot1^{2} = -2.

Resposta

A derivada de f em x=1 é -2.

Exercícios relacionados