Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
O conteúdo usado será o critério de Leibniz (teste da série alternada) e, em seguida, o teste da série-p para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do critério de Leibniz para a sequência de termos positivos
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}.
  1. Alternância de sinais: o fator (-1)^{n} garante que os sinais alternem.
  2. Monotonia decrescente: como n\mapsto\sqrt{n+1} é crescente, seu inverso a_{n} é decrescente, ou seja,
a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2}} < \frac{1}{\sqrt{n+1}} = a_{n}.
  1. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}} = 0.

Passo 3

Pelas condições acima, o critério de Leibniz garante que a série
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}a_{n}
converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=0}^{\infty} \biggl|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}\biggr| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Isto é uma série-p com p = \tfrac12 < 1, a qual diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}} converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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