Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
O conteúdo usado será o critério de Leibniz (teste da série alternada) e, em seguida, o teste da série-p para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do critério de Leibniz para a sequência de termos positivos
- Alternância de sinais: o fator
garante que os sinais alternem. - Monotonia decrescente: como
é crescente, seu inverso é decrescente, ou seja,
- Limite nulo:
Passo 3
Pelas condições acima, o critério de Leibniz garante que a série
converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Isto é uma série-p com
, a qual diverge.
Resposta
A série
converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).