Questāo 3: (3 pontos)
Entre as duas integrais abaixo, escolha uma para resolver e entregar a solução.
(a) \int_{0}^{\pi} x \cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} x \cos(5x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que aplicaremos para funções do tipo x\cdot \cos(5x).

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma:
u = x e dv = \cos(5x)\,dx.
Então
du = dx
e
v = \int \cos(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sin(5x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int_{0}^{\pi} x \cos(5x)\,dx = \Bigl[x\cdot \tfrac{1}{5}\sin(5x)\Bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{5}\sin(5x)\,dx.
O termo de fronteira é
\Bigl.x\frac{1}{5}\sin(5x)\Bigr|_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{5}\sin(5\pi) - 0 = 0.

Passo 4

Resta calcular
\int_{0}^{\pi}\sin(5x)\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{5}\cos(5x)\Bigr]_{0}^{\pi} = -\tfrac{1}{5}\bigl(\cos(5\pi)-\cos(0)\bigr) = -\tfrac{1}{5}(-1-1) = \tfrac{2}{5}.
Portanto
\int_{0}^{\pi} x \cos(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\,\frac{2}{5} = -\frac{2}{25}.

Resposta

-\frac{2}{25}

Exercícios relacionados