Questão 2 ( 2,0 pontos)
Durante a análise de estabilidade de uma asa delta, engenheiros aeroespaciais modelam a função de pressão aerodinâmica local por
f(x, y)=x^{3}-3 x+y^{2}
onde x representa o deslocamento em relação ao centro de sustentação e y uma componente de oscilação transversal. Determine os pontos críticos da função e use o teste da segunda derivada para classificá-los como ponto de mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}
e pede (i) os pontos críticos, obtidos fazendo o gradiente zero, e (ii) a classificação desses pontos pelo teste da segunda derivada (determinante da Hessiana).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e resolva
f_{x}(x,y)=3x^{2}-3,\quad f_{y}(x,y)=2y
para f_{x}=0 e f_{y}=0. Assim
3x^{2}-3=0\implies x^{2}=1\implies x=\pm1,
2y=0\implies y=0.
Logo os pontos críticos são (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Calcule as segundas derivadas e a Hessiana:
f_{xx}(x,y)=6x,\quad f_{xy}(x,y)=0,\quad f_{yy}(x,y)=2,
\text{det}(H)=f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=6x\cdot2-0=12x.

Passo 4

Aplique o teste da segunda derivada em cada ponto:
  • Em (1,0): \det(H)=12>0 e f_{xx}(1,0)=6>0, logo ponto de mínimo local.
  • Em (-1,0): \det(H)=-12<0, logo ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são
(1,0), que é um mínimo local,
e
(-1,0), que é um ponto de sela.

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