Questão 5 (2,0 pontos) Um engenheiro aeroespacial projeta um veículo de lançamento com três estágios, que con-
somem quantidades x, y e z de combustível (em toneladas). A eficiência da missão é modelada por f(x, y, z)=\ln (x)+2 \ln (y)+3 \ln (z). Sabendo que o total disponível de combustível é 12 toneladas, ou seja, x+y+z=12, determine a distribuição ideal de combustível entre os estágios para maximizar a eficiência da missão. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a eficiência da missão, dada por
f(x,y,z)=\ln(x)+2\ln(y)+3\ln(z),
sujeito à restrição de combustível
x+y+z=12.
O conteúdo é otimização de função de várias variáveis com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em formar a Lagrangiana e igualar as derivadas parciais a zero.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=\ln(x)+2\ln(y)+3\ln(z)-\lambda\bigl(x+y+z-12\bigr).

Passo 3

Calculamos as condições de estacionariedade:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=\frac{1}{x}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}=\lambda \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{\lambda}.

Passo 4

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=\frac{2}{y}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{y}=\lambda \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{2}{\lambda}.

Passo 5

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=\frac{3}{z}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{z}=\lambda \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{3}{\lambda}.

Passo 6

Agora usamos a restrição x+y+z=12:
\frac{1}{\lambda}+\frac{2}{\lambda}+\frac{3}{\lambda}=12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{\lambda}=12 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{6}{12}=\frac12.
Substituindo em x, y e z:
x=\frac{1}{\lambda}=2,\quad y=\frac{2}{\lambda}=4,\quad z=\frac{3}{\lambda}=6.

Resposta

A distribuição ótima de combustível é
x=2\text{ t},\quad y=4\text{ t},\quad z=6\text{ t}.

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