Questão 4 ( 2,0 pontos) sobre o dorso de uma aeronave é dada por:
P(x, y)=500-3 x^{2}-y^{2}
onde x e y representam coordenadas transversais sobre a fuselagem.
(a) Determine o vetor gradiente de P no ponto A=(4,1);
(b) Descreva a direção de maior aumento da densidade de pressão no ponto A.

Passo 1

O enunciado dá a pressão sobre o dorso de uma aeronave por
P(x,y)=500-3x^{2}-y^{2}
em função das coordenadas (x,y). Ele pergunta:
– (a) o vetor gradiente de P no ponto A=(4,1);
– (b) a direção de maior aumento da pressão em A.
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de P:
\frac{\partial P}{\partial x} = -6x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2y.
Logo, o vetor gradiente é
\nabla P(x,y) = \bigl(-6x,\,-2y\bigr).

Passo 3

Avaliamo-lo no ponto A=(4,1):
\nabla P(4,1) = \bigl(-6\cdot4,\,-2\cdot1\bigr) = (-24,\,-2).

Passo 4

A direção de maior aumento de P em A é dada pela direção do próprio gradiente \nabla P(4,1).
Opcionalmente, o vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u} = \frac{\nabla P(4,1)}{\|\nabla P(4,1)\|} = \frac{(-24,-2)}{\sqrt{(-24)^{2}+(-2)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{580}}\,(-24,-2) = \frac{1}{\sqrt{145}}\,(-12,-1).

Resposta

(a) \nabla P(4,1)=(-24,-2).
(b) A direção de maior aumento é a direção do vetor (-24,-2) (ou, normalizado, \frac{1}{\sqrt{145}}(-12,-1)).

Exercícios relacionados