Questão 3 (2,0 pontos)
Durante uma simulação de reentrada atmosférica, a distribuição de temperatura na carenagem de um foguete é modelada por T(x, y)=1000-2 x^{2}-y^{2}, onde T está em Kelvin e x, y representam coordenadas em milímetros sobre a superfície da carenagem.
No ponto P=(2,1), determine:
(a) o vetor gradiente da temperatura;
(b) a derivada direcional de T na direção do vetor (3,4);
(c) a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente em P;
(d) a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
T(x,y) = 1000 - 2x^{2} - y^{2}
e pede, no ponto P=(2,1):
(a) o vetor gradiente de T,
(b) a derivada direcional na direção de (3,4),
(c) a direção de máximo crescimento,
(d) a taxa máxima de variação.
Vamos usar cálculo de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial T}{\partial x} = -4x, \quad \frac{\partial T}{\partial y} = -2y.
Logo,
\boldsymbol{\nabla}T(x,y) = \bigl(-4x,\,-2y\bigr).
No ponto P=(2,1) isso dá
\boldsymbol{\nabla}T(2,1) = (-4\cdot2,\,-2\cdot1) = (-8,\,-2).

Passo 3

A derivada direcional de T na direção do vetor (3,4) é
D_{\mathbf u}T = \boldsymbol{\nabla}T(2,1)\cdot \mathbf u,
onde \mathbf u é o vetor unitário em direção a (3,4). Primeiro
\|\,(3,4)\| = 5, \quad \mathbf u = \Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr).
Então
D_{\mathbf u}T = (-8,-2)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr) = -8\cdot\tfrac{3}{5} \;+\; (-2)\cdot\tfrac{4}{5} = -\frac{24+8}{5} = -\frac{32}{5}.

Passo 4

A direção de máximo aumento de T em P é justamente a direção do vetor gradiente \boldsymbol{\nabla}T(2,1). Ou seja, a direção de (-8,-2). Se quisermos o vetor unitário:
\mathbf u_{\max} = \frac{\boldsymbol{\nabla}T(2,1)}{\|\boldsymbol{\nabla}T(2,1)\|} = \Bigl(-\tfrac{8}{\sqrt{68}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{68}}\Bigr).

Passo 5

A taxa máxima de variação de T em P é o módulo do gradiente:
\|\boldsymbol{\nabla}T(2,1)\| = \sqrt{(-8)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.

Resposta

(a) \boldsymbol{\nabla}T(2,1)=(-8,-2).
(b) D_{\mathbf u}T = -\tfrac{32}{5}.
(c) A direção do vetor gradiente, isto é, de (-8,-2) (ou, unitariamente, \bigl(-\tfrac{8}{\sqrt{68}},-\tfrac{2}{\sqrt{68}}\bigr)).
(d) A taxa máxima é \|\boldsymbol{\nabla}T(2,1)\|=2\sqrt{17}.

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