Questão 3 (2,0 pontos)
Durante uma simulação de reentrada atmosférica, a distribuição de temperatura na carenagem de um foguete é modelada por
, onde
está em Kelvin e
representam coordenadas em milímetros sobre a superfície da carenagem.
No ponto
, determine:
(a) o vetor gradiente da temperatura;
(b) a derivada direcional de
na direção do vetor
;
(c) a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente em
;
(d) a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto.
Durante uma simulação de reentrada atmosférica, a distribuição de temperatura na carenagem de um foguete é modelada por
No ponto
(a) o vetor gradiente da temperatura;
(b) a derivada direcional de
(c) a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente em
(d) a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede, no ponto
:
(a) o vetor gradiente de ,
(b) a derivada direcional na direção de ,
(c) a direção de máximo crescimento,
(d) a taxa máxima de variação.
Vamos usar cálculo de gradiente e derivada direcional.
(a) o vetor gradiente de
(b) a derivada direcional na direção de
(c) a direção de máximo crescimento,
(d) a taxa máxima de variação.
Vamos usar cálculo de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais:
Logo,
No ponto
isso dá
Passo 3
A derivada direcional de
na direção do vetor
é
onde
é o vetor unitário em direção a
. Primeiro
Então
Passo 4
A direção de máximo aumento de
em
é justamente a direção do vetor gradiente
. Ou seja, a direção de
. Se quisermos o vetor unitário:
Passo 5
A taxa máxima de variação de
em
é o módulo do gradiente:
Resposta
(a)
.
(b)
(c) A direção do vetor gradiente, isto é, de
(ou, unitariamente,
).
(d) A taxa máxima é
.