Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-0.25) y=0, x>0 ; y1(x)=x^-1 / 2 sin x

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2y''+x y'+l(x^2-0.25r)y=0, x>0
e uma solução conhecida
y1(x)=x^-1/2sin x
O conteúdo é redução de ordem: dado y1, buscamos y2=y1,v.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
Dividindo por x^2, temos
y''+1xy'+l(1-0.25x^2r)y=0,
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P(x)=1x

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, escrevemos
y2(x)=y1(x),v(x), v'(x)=e^-integral P(x),dxy1(x)^2

Passo 4

Calculamos
e^-integral P(x),dx =e^-integral1xdx =e^-ln x =x^-1,
e
y1(x)^2 =l(x^-1/2sin xr)^2 =x^-1sin^2x
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v'(x) =x^-1x^-1sin^2x =csc^2x

Passo 5

Integramos para obter v(x):
v(x)=integral csc^2x,dx =-cot x
Então
y2(x) =y1(x),v(x) =x^-1/2sin x;(-cot x) =-,x^-1/2cos x

Resposta

Uma segunda solução linearmente independente é
y2(x)=x^-tfrac12cos x

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