Questão 2 (2 pontos)
Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
\frac{d y}{d t}-2 y=4-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem não homogênea
\frac{dy}{dt}-2y=4-t.
Este tipo de equação é do tipo linear, e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t),
vemos que P(t)=-2 e Q(t)=4-t. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}=e^{-2t}.
Multiplicando a EDO por \mu(t), obtemos
e^{-2t}\frac{dy}{dt}-2e^{-2t}y=(4-t)e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-2t}\bigr)=(4-t)e^{-2t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
y\,e^{-2t} =\int(4-t)e^{-2t}\,dt =e^{-2t}\Bigl(\tfrac12\,t-\tfrac74\Bigr)+C.

Passo 4

Isolando y e multiplicando por e^{2t}, temos a solução geral
y(t)=\tfrac12\,t-\tfrac74 + C\,e^{2t}.

Resposta

y(t)=C\,e^{2t}+\tfrac12\,t-\tfrac74

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