Questão 1 (2 pontos)
Encontre a solução para os seguintes problemas de valor inicial.
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0, \\ y(0)=1, \\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Para isso vamos usar o método da equação característica e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica substituindo y=e^{rx} na equação diferencial:
r^2 - 3r + 2 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática obtemos as raízes
r_1 = 1 \quad\text{e}\quad r_2 = 2.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada:
y'(x) = C_{1}e^{x} + 2C_{2}e^{2x}.
Impondo as condições iniciais em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=1,
y'(0)=C_{1}+2C_{2}=0.
Subtraindo as duas equações, encontramos C_{2}=0 e, em seguida, C_{1}=1. Logo
y(x) = 1\cdot e^{x} + 0\cdot e^{2x} = e^{x}.

Resposta

y(x) = e^{x}.

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