Questão 1 (2 pontos)
Encontre a solução para os seguintes problemas de valor inicial.
\left{ \begin{array}{l}\frac{d y}{d t}=\frac{2 t}{1+y^{2}}, \\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{2\,t}{1+y^{2}},\\\ y(0)=1. \end{cases}
O conteúdo é equação diferencial de variáveis separáveis; vamos separar as variáveis y e t, integrar e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y^{2})\,dt e dividindo por 1:
(1+y^{2})\,dy = 2\,t\,dt.
Agora integramos cada lado:
\int (1+y^{2})\,dy = \int 2\,t\,dt.
A integral do lado esquerdo é
\int (1+y^{2})\,dy = y + \frac{y^{3}}{3},
e a do lado direito é
\int 2\,t\,dt = t^{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Depois de integrar, obtemos
y + \frac{y^{3}}{3} = t^{2} + C.
Para encontrar C, usamos y(0)=1. Substituindo t=0 e y=1,
1 + \frac{1^{3}}{3} = 0^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{1}{3} = C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{4}{3}.

Passo 4

Substituindo C=\tfrac{4}{3} na solução geral temos
y + \frac{y^{3}}{3} = t^{2} + \frac{4}{3}.
Multiplicando tudo por 3 para simplificar,
y^{3} + 3\,y = 3\,t^{2} + 4,
que é a forma implícita da solução.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
y^{3} + 3\,y = 3\,t^{2} + 4.

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