Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente chama de equação a variáveis separáveis. O enunciado é
. Para isso, vamos precisar separar as variáveis
e
para poder integrar cada lado da equação separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma função que conhecemos:
Do lado direito, a integral é mais simples:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos unir as duas integrais e simplificar as constantes:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 5
Para deixar a solução explícita para
, aplicamos o seno em ambos os lados da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.