Resolva as equações diferenciais a variáveis separáveis:
k) y' = x * raiz(1 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente chama de equação a variáveis separáveis. O enunciado é . Para isso, vamos precisar separar as variáveis e para poder integrar cada lado da equação separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por para isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma função que conhecemos:
Do lado direito, a integral é mais simples:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Vamos unir as duas integrais e simplificar as constantes:
Onde é uma nova constante de integração.

Passo 5

Para deixar a solução explícita para , aplicamos o seno em ambos os lados da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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