Seja
a série numérica cujo
-ésimo termo é
. Mostre que
(a)
.
(b)
para todo
, onde (
) é a sequência de reduzidas de
.
Com base no visto acima,
é convergente ou divergente? Justifique sua resposta!
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata da série numérica cuja
-ésima parcela é
Precisamos fazer duas coisas: (a) mostrar que
, usando ferramentas de limites; (b) encontrar a expressão fechada dos somatórios parciais
e verificar que ela é dada por alguma forma envolvendo
. A partir daí, decidimos se a série converge ou diverge.
Passo 2
Para calcular
racionalizamos a diferença de radicais:
Como
quando
, obtemos
Passo 3
Vamos agora somar telescopicamente:
Escrevendo os primeiros termos, notamos o “corta‐e‐cola”:
Quase tudo se cancela e sobra apenas
Portanto, para todo
,
Passo 4
A condição necessária para convergência de uma série é
, e nós a cumprimos.
No entanto, a soma parcial cresce sem limite quando
, pois
. Logo, os somatórios parciais divergem para
e a série não converge.
No entanto, a soma parcial
Resposta
A série
é divergente, pois suas somas parciais crescem sem limite.