Seja \sum a_{n} a série numérica cujo n-ésimo termo é a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}. Mostre que
(a) \lim a_{n}=0.
(b) s_{n}=1+\sqrt{n+1} para todo n \geq 2, onde ( s_{n} ) é a sequência de reduzidas de \sum a_{n}.
Com base no visto acima, \sum a_{n} é convergente ou divergente? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado trata da série numérica cuja n-ésima parcela é
a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.
Precisamos fazer duas coisas: (a) mostrar que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, usando ferramentas de limites; (b) encontrar a expressão fechada dos somatórios parciais
s_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}
e verificar que ela é dada por alguma forma envolvendo \sqrt{n+1}. A partir daí, decidimos se a série converge ou diverge.

Passo 2

Para calcular
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr),
racionalizamos a diferença de radicais:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
Como \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to\infty quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =0.

Passo 3

Vamos agora somar telescopicamente:
s_{n} = \sum_{k=1}^{n}\bigl(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\bigr).
Escrevendo os primeiros termos, notamos o “corta‐e‐cola”:
(\sqrt{2}-\sqrt{1}) +(\sqrt{3}-\sqrt{2}) +(\sqrt{4}-\sqrt{3}) +\cdots +(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).
Quase tudo se cancela e sobra apenas
s_{n} = -\sqrt{1}+\sqrt{n+1} = \sqrt{n+1}-1.
Portanto, para todo n\ge1,
s_{n} = \sqrt{n+1}-1.

Passo 4

A condição necessária para convergência de uma série é \lim a_{n}=0, e nós a cumprimos.
No entanto, a soma parcial s_{n}=\sqrt{n+1}-1 cresce sem limite quando n\to\infty, pois \sqrt{n+1}\to\infty. Logo, os somatórios parciais divergem para +\infty e a série não converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) é divergente, pois suas somas parciais crescem sem limite.

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