Questão 2 (3,5 pontos)
Foi realizada uma pesquisa envolvendo uma amostra de 600 pacientes de um certo hospital.
Cada um desses pacientes foi submetido a uma série de exames clínicos e, entre outras coisas, mediu-se o índice cardíaco (em litros/minuto/metro quadrado) de todos eles. Os 600 pacientes foram então classificados, de forma aleatória, em 40 grupos de 15 pacientes cada. Para um desses grupos, os valores medidos do índice cardíaco foram: 405, 348, 365, 291, 135, 260, 300, 155, 34, 294, 758, 472, 559, 143 e 172.
a) Com base nesses valores, construa um intervalo de confiança para o valor médio do índice cardíaco ao nível de 95 \%.
b) Se para cada um desses \mathbf{4 0} grupos de \mathbf{1 5} pacientes fosse construído um intervalo de confiança para a média ao nível de 95 \%, quantos desses intervalos se espera que não conteriam a verdadeira média populacional no seu interior? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=15 com os índices cardíacos
405,\,348,\,365,\,291,\,135,\,260,\,300,\,155,\,34,\,294,\,758,\,472,\,559,\,143,\,172
e pede (a) um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu; (b) em 40 grupos de 15 cada, quantos IC’s de 95\% não conteriam \mu.
Como a variância populacional é desconhecida, vamos usar a distribuição t de Student com n-1=14 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s.
\sum_{i=1}^{15}x_i=4691,\qquad \sum_{i=1}^{15}x_i^2=1\,950\,339
\bar x=\frac{4691}{15}=312,73
s^2=\frac{1}{n-1}\Bigl(\sum x_i^2 - n\,\bar x^2\Bigr) =\frac{1}{14}\bigl(1\,950\,339-15\cdot(312,73)^2\bigr) =34\,521,9
s=\sqrt{34\,521,9}\approx185,75

Passo 3

Encontrar o quantil t_{0,025;14} e a semi-amplitude do intervalo.
t_{0,025;14}\approx2,145
\text{erro} = t_{0,025;14}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =2,145\cdot\frac{185,75}{\sqrt{15}} \approx102,97

Passo 4

Construir o intervalo de confiança de 95\% para \mu:
\bar x \pm \text{erro} =312,73\pm102,97
Ou seja,
[312,73-102,97,\;312,73+102,97] \approx[209,76,\;415,70]

Passo 5

Para cada intervalo de 95\% a probabilidade de não conter \mu é 5\%. Em 40 intervalos independentes, o número esperado de IC’s que não conteriam a verdadeira média é
40\times0,05=2.

Resposta

a) Um intervalo de confiança de 95\% para \mu é aproximadamente
[209,8,\;415,7].
b) Espera-se que 2 dos 40 intervalos não contenham a média populacional, pois 5\% de 40 é 2.

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