Questão 3 (3,5 pontos)

Supõe-se que o preço de determinado artigo nos pontos de venda de certa localidade tem distribuição normal com média igual a \mathrm{R} \ 105,00 e desvio padrão igual aã\mathrm{R} $10,00 . Suspeita-se que, devido ao aumento da demanda, o preçó do referido artigo tenha aumentado na região. Para verificar se isto ocorreu, um pesquisador analisou os preços deste artigo em 40 pontos de venda da localidade, escolhidos aleatoriamente, constatando que nos pontos de venda pesquisados o preço médio do artigo éçóãççéé\mathrm{R} $ 110,00$.
a) Quais são as hipóteses do teste ( 0,5 PONTOS)?
b) Nesse caso quais são os erros que podem ser cometidos no presente teste de hipóteses (1 PONTO)?
c) Qual é a conclusão do pesquisador, admitindo-se um nível de significância de 5 \% ( 2 PONTOS)?

Passo 1

O enunciado supõe que o preço do artigo segue uma distribuição normal com média \mu_{0}=105{,}00 e desvio padrão \sigma=10{,}00. Um pesquisador coletou uma amostra de tamanho n=40 e obteve média amostral \bar x=110{,}00. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0{,}05, se houve aumento do preço na região. Como \sigma é conhecido, usaremos o teste z para a média.

Passo 2

As hipóteses do teste são
H_{0}: \mu = 105{,}00
H_{1}: \mu > 105{,}00

Passo 3

Os erros que podem ocorrer são
1. Erro tipo I: rejeitar H_{0} quando H_{0} é verdadeira (concluir que o preço aumentou quando não houve aumento), com probabilidade \alpha=0{,}05.
2. Erro tipo II: não rejeitar H_{0} quando H_{1} é verdadeira (falhar em detectar o aumento do preço quando ele realmente ocorreu), com probabilidade \beta, que depende do valor real de \mu.

Passo 4

Calculamos a estatística de teste:
z = \frac{\bar x - \mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{110{,}00 - 105{,}00}{10{,}00/\sqrt{40}} \approx \frac{5{,}00}{1{,}5811} \approx 3{,}1623.
O valor crítico para \alpha=0{,}05 em teste unilateral à direita é z_{0{,}95}=1{,}645. Como
z = 3{,}1623 > 1{,}645,
rejeitamos H_{0}. Há evidência significativa de que o preço médio aumentou.

Resposta

a) H_{0}: \mu = 105{,}00, H_{1}: \mu > 105{,}00.
b) Erro tipo I (rejeitar H_{0} quando é verdadeira) e erro tipo II (não rejeitar H_{0} quando H_{1} é verdadeira).
c) Rejeita-se H_{0} ao nível de 5\%, concluindo que o preço médio do artigo aumentou na região.

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