Questão 2: (9 pontos) Num jogo de aposta, temos 8 cartas, sendo 4 Ases e 4 Reis. Para participar o apostador deve casar 2 reais. São retiradas 4 cartas dessas oito, para cada Ás retirado o apostador recebe 1 real. O apostador têm o direito de escolher o modo de amostragem, com ou sem reposição.
(a) (2 pontos) Seja
a quantidade de Azes dentre as quatro cartas selecionadas. Qual modelo é adequado para
considerando amostragem com reposição ? E sem reposição ?
(a) (2 pontos) Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando nessa questão. Temos um jogo de apostas com 8 cartas: 4 Ases e 4 Reis. O apostador vai tirar 4 cartas e ganha 1 real para cada Ás tirado. A pergunta é sobre a variável aleatória $ X $, que representa a quantidade de Ases nas 4 cartas selecionadas. A gente precisa descobrir qual modelo probabilístico é adequado para $ X $ quando a amostragem é feita com reposição e sem reposição. Para isso, vamos precisar conhecer os modelos de distribuição binomial e hipergeométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na amostragem com reposição. Isso quer dizer que, depois de tirar uma carta, você coloca ela de volta no baralho antes de tirar a próxima. Então, cada retirada é independente das outras. A probabilidade de tirar um Ás em cada tentativa é sempre a mesma, que é $ \frac{4}{8} = 0.5 $. Quando temos uma série de tentativas independentes com a mesma probabilidade de sucesso, a distribuição adequada é a Distribuição Binomial.
Passo 3
Agora, vamos considerar a amostragem sem reposição. Nesse caso, depois de tirar uma carta, você não a coloca de volta no baralho. Isso faz com que as retiradas não sejam independentes; a probabilidade de tirar um Ás muda conforme as cartas são retiradas. Quando a amostragem é feita sem reposição e a ordem não importa, a distribuição apropriada é a Distribuição Hipergeométrica.
Resposta
- Com reposição: a variável $ X $ segue a Distribuição Binomial.
- Sem reposição: a variável $ X $ segue a Distribuição Hipergeométrica.