Questão 2: (9 pontos) Num jogo de aposta, temos 8 cartas, sendo 4 Ases e 4 Reis. Para participar o apostador deve casar 2 reais. São retiradas 4 cartas dessas oito, para cada Ás retirado o apostador recebe 1 real. O apostador têm o direito de escolher o modo de amostragem, com ou sem reposição.
(b) (4 pontos) Qual a probabilidade do apostador não ficar no prejuízo, se o modo de amostragem for com reposição ? E se for sem reposição ?
(b) (4 pontos) Qual a probabilidade do apostador não ficar no prejuízo, se o modo de amostragem for com reposição ? E se for sem reposição ?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um jogo com 8 cartas, sendo 4 Ases e 4 Reis. O apostador paga 2 reais para jogar e retira 4 cartas. Para cada Ás retirado, ele ganha 1 real. Queremos descobrir a probabilidade de o apostador não perder dinheiro, ou seja, ganhar pelo menos 2 reais. Precisamos calcular essa probabilidade em duas situações: quando as cartas são retiradas com reposição e sem reposição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial e a combinação de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa não ficar no prejuízo. O apostador paga 2 reais e ganha 1 real por cada Ás retirado. Portanto, para não perder dinheiro, ele precisa ganhar pelo menos 2 reais. Isso acontece quando ele retira 2, 3 ou 4 Ases nas 4 retiradas.
Passo 3
Vamos começar calculando a probabilidade com reposição. Com reposição significa que, após cada retirada, a carta é devolvida ao baralho, mantendo o número total de cartas constante em 8.
A probabilidade de retirar um Ás em uma única tentativa é:
Como estamos retirando com reposição, cada retirada é independente. Portanto, a situação segue uma distribuição binomial, onde:
- Número de tentativas (n) = 4
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa § = 0,5
Passo 4
A probabilidade de retirar exatamente k Ases em 4 tentativas é dada pela fórmula da distribuição binomial:
Onde:
-
é a combinação de n elementos tomados k a k.
Vamos calcular para k = 2, 3 e 4.
Passo 5
Calculando para k = 2:
Para k = 3:
Para k = 4:
Passo 6
Agora, somamos as probabilidades de conseguir 2, 3 ou 4 Ases:
Convertendo para denominador comum:
Portanto, a probabilidade de não ficar no prejuízo com reposição é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a probabilidade sem reposição. Sem reposição significa que, após cada retirada, a carta não é devolvida ao baralho, reduzindo o número total de cartas a cada retirada.
Aqui, usamos a combinação sem reposição:
Vamos calcular para k = 2, 3 e 4.
Passo 8
Calculando para k = 2:
Para k = 3:
Para k = 4:
Passo 9
Agora, somamos as probabilidades de conseguir 2, 3 ou 4 Ases:
Convertendo para denominador comum:
Portanto, a probabilidade de não ficar no prejuízo sem reposição é
.
Resposta
A probabilidade do apostador não ficar no prejuízo é:
- Com reposição:
- Sem reposição: