Questão 2: (9 pontos) Num jogo de aposta, temos 8 cartas, sendo 4 Ases e 4 Reis. Para participar o apostador deve casar 2 reais. São retiradas 4 cartas dessas oito, para cada Ás retirado o apostador recebe 1 real. O apostador têm o direito de escolher o modo de amostragem, com ou sem reposição.
(b) (4 pontos) Qual a probabilidade do apostador não ficar no prejuízo, se o modo de amostragem for com reposição ? E se for sem reposição ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos um jogo com 8 cartas, sendo 4 Ases e 4 Reis. O apostador paga 2 reais para jogar e retira 4 cartas. Para cada Ás retirado, ele ganha 1 real. Queremos descobrir a probabilidade de o apostador não perder dinheiro, ou seja, ganhar pelo menos 2 reais. Precisamos calcular essa probabilidade em duas situações: quando as cartas são retiradas com reposição e sem reposição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial e a combinação de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa não ficar no prejuízo. O apostador paga 2 reais e ganha 1 real por cada Ás retirado. Portanto, para não perder dinheiro, ele precisa ganhar pelo menos 2 reais. Isso acontece quando ele retira 2, 3 ou 4 Ases nas 4 retiradas.

Passo 3

Vamos começar calculando a probabilidade com reposição. Com reposição significa que, após cada retirada, a carta é devolvida ao baralho, mantendo o número total de cartas constante em 8.
A probabilidade de retirar um Ás em uma única tentativa é:
P(A) = 48 = 12
Como estamos retirando com reposição, cada retirada é independente. Portanto, a situação segue uma distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas (n) = 4
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa § = 0,5

Passo 4

A probabilidade de retirar exatamente k Ases em 4 tentativas é dada pela fórmula da distribuição binomial:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é a combinação de n elementos tomados k a k.
Vamos calcular para k = 2, 3 e 4.

Passo 5

Calculando para k = 2:
P(2) = binom42 times (12)^2 times (12)^2 = 6 times 14 times 14 = 616 = 38
Para k = 3:
P(3) = binom43 times (12)^3 times (12)^1 = 4 times 18 times 12 = 416 = 14
Para k = 4:
P(4) = binom44 times (12)^4 times (12)^0 = 1 times 116 times 1 = 116

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de conseguir 2, 3 ou 4 Ases:
P(não perder) = P(2) + P(3) + P(4) = 38 + 14 + 116 ã
Convertendo para denominador comum:
616 + 416 + 116 = 1116
Portanto, a probabilidade de não ficar no prejuízo com reposição é 1116.

Passo 7

Agora, vamos calcular a probabilidade sem reposição. Sem reposição significa que, após cada retirada, a carta não é devolvida ao baralho, reduzindo o número total de cartas a cada retirada.
Aqui, usamos a combinação sem reposição:
P(k) = binom4k times binom44 - kbinom84
Vamos calcular para k = 2, 3 e 4.

Passo 8

Calculando para k = 2:
P(2) = binom42 times binom42binom84 = 6 times 670 = 3670 = 1835
Para k = 3:
P(3) = binom43 times binom41binom84 = 4 times 470 = 1670 = 835
Para k = 4:
P(4) = binom44 times binom40binom84 = 1 times 170 = 170

Passo 9

Agora, somamos as probabilidades de conseguir 2, 3 ou 4 Ases:
P(não perder) = P(2) + P(3) + P(4) = 1835 + 835 + 170 ã
Convertendo para denominador comum:
3670 + 1670 + 170 = 5370
Portanto, a probabilidade de não ficar no prejuízo sem reposição é 5370.

Resposta

A probabilidade do apostador não ficar no prejuízo é:
  • Com reposição: 1116
  • Sem reposição: 5370

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