Questão 1: (7 pontos) Numa urna temos 2 bolas vermelhas, 2 verdes e 1 amarela. Escolhemos, ao acaso, uma das bolas, e definimos a seguinte variável aleatória para esse experimento:
se a bola escolhida for vermelha e
se a bola não for vermelha.
(b) (2 pontos) Responda verdadeiro ou falso.
?
(b) (2 pontos) Responda verdadeiro ou falso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com 2 bolas vermelhas, 2 verdes e 1 amarela, totalizando 5 bolas. A variável aleatória $ X $ é definida assim: $ X = 1 $ se a bola escolhida for vermelha e $ X = 2 $ caso contrário. A parte (b) pergunta se $ Y = X - 1 $ segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro $ \frac{3}{5} $. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma distribuição de Bernoulli e verificar se $ Y $ atende a essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. Uma variável aleatória $ Y $ segue uma distribuição de Bernoulli, denotada por $ Y \sim \operatorname{Ber}§ $, se ela assume apenas dois valores: 0 e 1. A probabilidade de $ Y = 1 $ é $ p $ e a de $ Y = 0 $ é $ 1 - p $. Ou seja, é um experimento com dois possíveis resultados, como sucesso ou fracasso.
Passo 3
Agora, vamos transformar $ X $ em $ Y $. Sabemos que:
Então:
- Se $ X = 1 $ (bola vermelha), então $ Y = 0 $.
- Se $ X = 2 $ (bola não vermelha), então $ Y = 1 $.
Isso significa que $ Y $ pode ser 0 ou 1, alinhando-se com os requisitos de uma distribuição de Bernoulli.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de $ Y = 1 $ e $ Y = 0 $:
- Probabilidade de escolher uma bola vermelha ($ Y = 0 $):
- Probabilidade de escolher uma bola não vermelha ($ Y = 1 $):
Passo 5
Comparando com a definição de uma distribuição de Bernoulli $ \operatorname{Ber}§ $, onde $ p $ é a probabilidade de $ Y = 1 $, temos que $ p = \frac{3}{5} $. Portanto, $ Y $ realmente segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro $ \frac{3}{5} $.
Resposta
Verdadeiro.