Questão 1: (7 pontos) Numa urna temos 2 bolas vermelhas, 2 verdes e 1 amarela. Escolhemos, ao acaso, uma das bolas, e definimos a seguinte variável aleatória para esse experimento: X=1 se a bola escolhida for vermelha e X=2 se a bola não for vermelha.
(b) (2 pontos) Responda verdadeiro ou falso. X-1=Y sim Ber(35) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com 2 bolas vermelhas, 2 verdes e 1 amarela, totalizando 5 bolas. A variável aleatória $ X $ é definida assim: $ X = 1 $ se a bola escolhida for vermelha e $ X = 2 $ caso contrário. A parte (b) pergunta se $ Y = X - 1 $ segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro $ \frac{3}{5} $. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma distribuição de Bernoulli e verificar se $ Y $ atende a essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. Uma variável aleatória $ Y $ segue uma distribuição de Bernoulli, denotada por $ Y \sim \operatorname{Ber}§ $, se ela assume apenas dois valores: 0 e 1. A probabilidade de $ Y = 1 $ é $ p $ e a de $ Y = 0 $ é $ 1 - p $. Ou seja, é um experimento com dois possíveis resultados, como sucesso ou fracasso.

Passo 3

Agora, vamos transformar $ X $ em $ Y $. Sabemos que:
X
Então:
  • Se $ X = 1 $ (bola vermelha), então $ Y = 0 $.
  • Se $ X = 2 $ (bola não vermelha), então $ Y = 1 $.
Isso significa que $ Y $ pode ser 0 ou 1, alinhando-se com os requisitos de uma distribuição de Bernoulli.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de $ Y = 1 $ e $ Y = 0 $:
  • Probabilidade de escolher uma bola vermelha ($ Y = 0 $):
Y = 1
  • Probabilidade de escolher uma bola não vermelha ($ Y = 1 $):
Y = 0

Passo 5

Comparando com a definição de uma distribuição de Bernoulli $ \operatorname{Ber}§ $, onde $ p $ é a probabilidade de $ Y = 1 $, temos que $ p = \frac{3}{5} $. Portanto, $ Y $ realmente segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro $ \frac{3}{5} $.

Resposta

Verdadeiro.

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