Questão 1: (7 pontos) Numa urna temos 2 bolas vermelhas, 2 verdes e 1 amarela. Escolhemos, ao acaso, uma das bolas, e definimos a seguinte variável aleatória para esse experimento: X=1 se a bola escolhida for vermelha e X=2 se a bola não for vermelha.
(a) (5 pontos) Descreva a função densidade de probabilidade, e a função de distribuição acumulada, da variável aleatória X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 2 bolas vermelhas, 2 verdes e 1 amarela, totalizando 5 bolas. A pergunta quer que a gente descreva a função densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória X definida assim: X=1 se a bola escolhida for vermelha e X=2 se não for vermelha. Vamos usar conceitos de probabilidade básica e variáveis aleatórias discretas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as probabilidades dos eventos que definem X. A variável X pode assumir dois valores: 1 e 2.
  • Probabilidade de X=1 (bola vermelha):
    Temos 2 bolas vermelhas e 5 bolas no total. Então,
    P(X=1) = 25
  • Probabilidade de X=2 (bola não vermelha):
    As bolas que não são vermelhas são 2 verdes e 1 amarela, totalizando 3 bolas. Então,
    P(X=2) = 35

Passo 3

Agora, vamos montar a função densidade de probabilidade (PDF) para a variável X. A PDF lista os valores que X pode assumir e suas respectivas probabilidades.
fX(x) = 1/5 times 2 = 2/5, & se x = 1 3/5, & se x = 2 0, & outros casos
Então, a PDF fica:
fX(x) = 25, & se x = 1 35, & se x = 2 0, & caso contrário á

Passo 4

Agora vamos construir a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF, denotada por FX(x), dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um certo valor x.
Para X com valores 1 e 2:
  • Para x < 1:
    FX(x) = 0
  • Para 1 <= x < 2:
    FX(x) = P(X <= 1) = 25
  • Para x >= 2:
    FX(x) = P(X <= 2) = 25 + 35 = 1
Resumindo:
FX(x) = 0, & se x < 1 25, & se 1 <= x < 2 1, & se x >= 2

Resposta

A função densidade de probabilidade de X é
fX(x) = 25, & se x = 1 35, & se x = 2 0, & caso contrário á
E a função de distribuição acumulada de X é
FX(x) = 0, & se x < 1 25, & se 1 <= x < 2 1, & se x >= 2

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