Questāo 3. 2,5 pontos Mostre que a onda estacionária do campo elétrico para ondas eletromagnéticas estacionárias indicada pelas Eq.(32.34)
Ey(x, t)=-2 Em a x sin (k x) sin (omega t)
Satisfaz à Equação de onda (32.15)
partial^2 Ey(x, t)partial x^2=1c^2 partial^2 Ey(x, t)partial t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a onda estacionária do campo elétrico dada por
Ey(x, t) = -2 Emax sin(k x) sin(omega t)
satisfaz a Equação de Onda para ondas eletromagnéticas, que é
partial^2 Ey(x, t)partial x^2 = 1c^2 partial^2 Ey(x, t)partial t^2
Aqui, a matéria envolvida é a Equação de Onda para campos eletromagnéticos, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de $ E_{y}(x, t) $ em relação a $ x $ e $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ E_{y}(x, t) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} $.
A função é:
Ey(x, t)
Derivando uma vez em relação a $ x $:
x
Derivando novamente:
partial^2 Eypartial x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ E_{y}(x, t) $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} $.
A função é:
Ey(x, t)
Derivando uma vez em relação a $ t $:
t
Derivando novamente:
partial^2 Eypartial t^2

Passo 4

Agora, vamos substituir as derivadas que calculamos na Equação de Onda para verificar se são iguais:
partial^2 Eypartial x^2 = 2 Emax k^2 sin(k x) sin(omega t)
1c^2 partial^2 Eypartial t^2 = 1c^2 cdot 2 Emax omega^2 sin(k x) sin(omega t)
Para que a Equação de Onda seja satisfeita, precisamos que:
2 Emax k^2 sin(k x) sin(omega t) = 2 Emax omega^2c^2 sin(k x) sin(omega t)
Simplificando ambos os lados:
k^2 = omega^2c^2
E isso é uma relação conhecida entre $ k $, $ \omega $ e $ c $ para ondas eletromagnéticas, onde $ c $ é a velocidade da luz.

Resposta

Assim, mostramos que a onda estacionária $ E_{y}(x, t) = -2 E_{max} \sin(k x) \sin(\omega t) $ satisfaz a Equação de Onda para ondas eletromagnéticas, já que $ k^{2} = \frac{\omega{2}}{c{2}} $. Portanto, a equação está comprovada.

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