Questāo 3.
pontos
Mostre que a onda estacionária do campo elétrico para ondas eletromagnéticas estacionárias indicada pelas Eq.(32.34)
Satisfaz à Equação de onda (32.15)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a onda estacionária do campo elétrico dada por
satisfaz a Equação de Onda para ondas eletromagnéticas, que é
Aqui, a matéria envolvida é a Equação de Onda para campos eletromagnéticos, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de $ E_{y}(x, t) $ em relação a $ x $ e $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ E_{y}(x, t) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} $.
A função é:
Derivando uma vez em relação a $ x $:
Derivando novamente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ E_{y}(x, t) $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} $.
A função é:
Derivando uma vez em relação a $ t $:
Derivando novamente:
Passo 4
Agora, vamos substituir as derivadas que calculamos na Equação de Onda para verificar se são iguais:
Para que a Equação de Onda seja satisfeita, precisamos que:
Simplificando ambos os lados:
E isso é uma relação conhecida entre $ k $, $ \omega $ e $ c $ para ondas eletromagnéticas, onde $ c $ é a velocidade da luz.
Resposta
Assim, mostramos que a onda estacionária $ E_{y}(x, t) = -2 E_{max} \sin(k x) \sin(\omega t) $ satisfaz a Equação de Onda para ondas eletromagnéticas, já que $ k^{2} = \frac{\omega{2}}{c{2}} $. Portanto, a equação está comprovada.