Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y z\right) \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}+x y^{2} \mathbf{k},
é a superfície do sólido limitado pelas esferas
e
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y z\right) \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}+x y^{2} \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
que é o “casco” esférico entre as esferas
e
. Como
é a fronteira de um sólido
, podemos usar o Teorema da Divergência, que diz:
Precisamos então calcular
e avaliar o integral de volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Em coordenadas esféricas usamos
,
o elemento de volume
,
e os limites são ,
,
. Então o integral fica
o elemento de volume
e os limites são
Passo 4
Separemos as integrais:
Sabemos que
Passo 5
Calculamos o radial:
Portanto o fluxo é