Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y z\right) \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}+x y^{2} \mathbf{k},
S é a superfície do sólido limitado pelas esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F} através da superfície S que é o “casco” esférico entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9. Como S é a fronteira de um sólido E, podemos usar o Teorema da Divergência, que diz:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Precisamos então calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e avaliar o integral de volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x^{3}+yz\bigr)\mathbf{i}+x^{2}y\,\mathbf{j}+xy^{2}\,\mathbf{k}:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+yz) + \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) + \frac{\partial}{\partial z}(xy^{2}) = 3x^{2}+x^{2}+0 = 4x^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{E}4x^{2}\,dV.
Em coordenadas esféricas usamos
\displaystyle x=r\sin\theta\cos\varphi,
o elemento de volume
\,dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
e os limites são 2\le r\le3, 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi\le2\pi. Então o integral fica
\iiint_{E}4x^{2}\,dV = 4\int_{r=2}^{3}\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{\varphi=0}^{2\pi} \bigl(r\sin\theta\cos\varphi\bigr)^{2} \,r^{2}\sin\theta\, d\varphi\,d\theta\,dr.

Passo 4

Separemos as integrais:
4\int_{2}^{3}r^{4}\,dr \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta \;\times\; \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
Sabemos que
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi =\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta =\frac{4}{3}.

Passo 5

Calculamos o radial:
\int_{2}^{3}r^{4}\,dr =\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{2}^{3} =\frac{3^{5}-2^{5}}{5} =\frac{243-32}{5} =\frac{211}{5}.
Portanto o fluxo é
4\;\times\;\frac{211}{5}\;\times\;\frac{4}{3}\;\times\;\pi = \frac{16\cdot211}{15}\,\pi = \frac{3376}{15}\,\pi.

Resposta

\frac{3376}{15}\,\pi.

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