Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y^{2} \mathbf{i}+y z \mathbf{j}+z x^{2} \mathbf{k},
S é a superfície do sólido que está entre os cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 e entre os planos z=1 e z=3

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=x y^{2}\,\mathbf{i}+y z\,\mathbf{j}+z x^{2}\,\mathbf{k} através da superfície fechada S que é o contorno do sólido delimitado pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=1 e z=3. O método indicado é o Teorema do Divergente (ou Gauss), que afirma que
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é o volume interno a S.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(y z) + \frac{\partial}{\partial z}(z x^{2}) = y^{2}+z+x^{2}.

Passo 3

Para a integral tripla, vamos usar coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, \quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
e note que x^{2}+y^{2}=r^{2}. O domínio V é dado por
1\le r\le 2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le3.
Logo o integrando \nabla\cdot\mathbf{F}=r^{2}+z e a integral fica
\iiint_{V}(r^{2}+z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{z=1}^{3}(r^{2}+z)\,r\,dz = \int_{1}^{3}(r^{3}+r z)\,dz = r^{3}(3-1)+r\frac{3^{2}-1^{2}}{2} = 2r^{3}+4r.
Agora em r:
\int_{r=1}^{2}(2r^{3}+4r)\,dr = 2\frac{r^{4}}{4}+4\frac{r^{2}}{2}\Bigg|_{1}^{2} = \Bigl(\tfrac{r^{4}}{2}+2r^{2}\Bigr)\Big|_{1}^{2} = \bigl(8+8\bigr)-\bigl(\tfrac12+2\bigr) = 16-\tfrac52 = \tfrac{27}{2}.
Finalmente em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{27}{2}\,d\theta = \frac{27}{2}\cdot2\pi = 27\pi.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 27\pi.

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