Questăo 2 (3 Pontos) - Óleo lubrificante escoa através de um tubo com diâmetro de 25 mm a uma vazăo mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O óleo entra no tubo a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura da superficie do tubo é mantida constante em 100^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura de saida do óleo para uma tubulação de 500 m e a taxa de transferência de calor entre a tubulaçảo e o óleo lubrificante.
Considere para o óleo: c_{r}=2035 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~kg}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ; \mu=0,0836 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} \cdot \mathrm{~m}^{-2} ; \mathrm{k}=0,141 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ; \mathrm{Pr}=1205

Passo 1

O enunciado dá óleo lubrificante escoando em escoamento interno forçado por um tubo de diâmetro D=25\\ \mathrm{mm} e comprimento L=500\\ \mathrm{m}. A vazão mássica é \dot m=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}, a temperatura de entrada é T_i=25\,^\circ\mathrm{C} e a parede do tubo está mantida em T_s=100\,^\circ\mathrm{C}. As propriedades do óleo são c_p=2035\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \mu=0{,}0836\\ \mathrm{Pa\cdot s}, k=0{,}141\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e \mathrm{Pr}=1205.
Conteúdo: convecção interna em regime permanente com parede a temperatura constante e escoamento termicamente totalmente desenvolvido. Vamos precisar de número de Reynolds, número de Nusselt, coeficiente convectivo h e da solução da equação de energia para escoamento em duto.

Passo 2

Verificamos se o escoamento é laminar calculando o número de Reynolds. Para escoamento em tubo,
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,u\,D}{\mu}
mas eliminamos \rho usando \dot m=\rho\,u\,A com A=\pi D^2/4, obtendo
\mathrm{Re} =\frac{D\,\dot m}{\mu\,A} =\frac{4\,\dot m}{\pi\,D\,\mu} =\frac{4\cdot0{,}5}{\pi\cdot0{,}025\cdot0{,}0836} \approx305.
Como \mathrm{Re}<2300, o escoamento é laminar.

Passo 3

Em escoamento laminar totalmente desenvolvido com parede a temperatura constante, o número de Nusselt é
\mathrm{Nu}=4{,}36.

Passo 4

Calculamos o coeficiente de transferência de calor convectivo
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} =\frac{4{,}36\cdot0{,}141}{0{,}025} \approx24{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 5

A equação de balanço de energia no regime permanente dá a variação da temperatura média T_m(x) ao longo do tubo:
\frac{dT_m}{dx} =\frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\bigl(T_s-T_m\bigr),
onde P=\pi D é o perímetro molhado. A solução desta EDO com T_m(0)=T_i é
T_m(L) =T_s-\bigl(T_s-T_i\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr).

Passo 6

Calculamos os parâmetros numéricos:
P=\pi\,D=\pi\cdot0{,}025\approx0{,}07854\\ \mathrm{m},
\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p} =\frac{24{,}6\cdot0{,}07854\cdot500}{0{,}5\cdot2035} \approx0{,}9497,
T_o =T_s-(T_s-T_i)e^{-0{,}9497} =100-(100-25)\,e^{-0{,}9497} \approx100-75\cdot0{,}3869 \approx70{,}98\,^\circ\mathrm{C}.
A taxa de calor transferido é
\dot Q =\dot m\,c_p\,(T_o-T_i) =0{,}5\cdot2035\cdot(70{,}98-25) \approx4,68\times10^4\\ \mathrm{W}.

Resposta

Temperatura de saída: T_o\approx70{,}98\,^\circ\mathrm{C}.
Taxa de transferência de calor: \dot Q\approx4,68\times10^4\\ \mathrm{W}.

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