Questão 1. (1,5 pts) Um grande reservatório com água de 1 m de profundidade é aberto para a atmosfera em sua parte superior. Qual é o maior diâmetro de tubo que pode ser instalado na base do reservatório e ainda apresentar um escoamento laminar? Admita que o comprimento do tubo seja pequeno em comparação com a altura do nível da água no reservatório e que o tubo está aberto para a atmosfera. Despreze o atrito fluido.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório aberto de altura h=1\\ \mathrm{m}, cuja base está conectada a um tubo curto também aberto na saída. Queremos que o escoamento dentro do tubo seja laminar, ou seja, que o número de Reynolds satisfaça
\mathrm{Re} < 2000.
Vamos usar o teorema de Torricelli para obter a velocidade de saída e, depois, a definição de Reynolds para encontrar o diâmetro máximo.

Passo 2

Pela equação de Torricelli, desprezando perdas por atrito e admitindo que o tubo é curto, a velocidade de saída é
v = \sqrt{2\,g\,h},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e h=1\\ \mathrm{m}. Logo,
v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 1} \approx 4{,}43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O número de Reynolds para escoamento em conduto cilíndrico é
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu},
onde \rho é a densidade da água e \mu sua viscosidade dinâmica. Para água a 20^\circ\mathrm{C} vale aproximadamente \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Exigindo \mathrm{Re}<2000, temos
\frac{\rho\,v\,D}{\mu} \le 2000 \quad\Longrightarrow\quad D \le \frac{2000\,\mu}{\rho\,v}.

Passo 5

Substituindo valores:
D \le \frac{2000 \times 1{,}0\times10^{-3}}{1000 \times 4{,}43} = \frac{2}{4430} \approx 4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Portanto, o maior diâmetro que ainda garante escoamento laminar é cerca de 4,5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Resposta

O diâmetro máximo é aproximadamente 4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (ou 0{,}45\\ \mathrm{mm}).

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